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解：$(1)$如图所示，$△A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求

$(2)$如图所示，$△AB_{2}C_{2}$即为所求

$(3)S_{\triangle C_{1}C_{2}B_{2}}=\frac 12×6×2 = 6$

$x^{2}-1$

$x^{3}-1$

$x^{4}-1$

$x^{n + 1}-1$

解：$(2)$∵$(3 - 1)(3^6+3^5+3^4+3^3+3^2+3 + 1)=3^7-1$

∴$3^6+3^5+3^4+3^3+3^2+3+ 1=\frac {3^7-1}{3 - 1}$

$ $则$3^6+3^5+3^4+3^3+3^2+4=3^6+3^5+3^4+3^3+3^2+3 + 1=\frac {3^7-1}2=1093$

解：(1)如图所示，运动路径：P→M→Q，点M即为所求

(2)如图所示，运动路径：P→E→F→Q，点E、点F即为所求