第41页 - 数学 - 电子课本网

$(1)解：设F点的坐标为(x,y),其中x、y均大于0$

$则OC=x,CF=y.根据三角形面积公式可得$

$\ S_{ △OCF}=\frac{1}{2}×xy=\sqrt{ 3}$

$∴\ xy=2×\sqrt{ 3},即k=2×\sqrt{ 3}$

$∴ 反比例函数解析式为y= (\frac{ 2\sqrt{ 3}}{ x})(x＞0)$

$该圆与y轴相离。理由如下:$

$如图,过点E作EH⊥x轴,垂足为H,过点E作EG⊥y轴,$

$垂足为G在△AOB中,OA=AB=4,$

$∠AOB=∠ABO=∠OAB=60°$

$设OH=m,则tan∠AOB=\frac{ EH}{ OH}$

$∵ ∠AOB=60°∴ tan∠AOB= \frac{ EH}{ OH}=\sqrt{ 3}$

$\ ∴\ EH=\sqrt{ 3}×m,OE=2m∴ E点的坐标为(m,\sqrt{ 3}×m)$

$∵ E在反比例函数y= (\frac{ 2×\sqrt{ 3}}{ x})图象上$

$∴ \sqrt{ 3}×m= (\frac{ 2×\sqrt{ 3}}{ m})$

$∴ m=\sqrt{ 2}或m=-\sqrt{ 2}（舍去）$

$∴ OE=2×\sqrt{ 2}、EA=4-2×\sqrt{ 2}、EG=\sqrt{ 2}$

$∵\ 4-2×\sqrt{ 2}＜\sqrt{ 2}$

$∴ EA＜EG$

$∴ 以E为圆心,EA长为半径的圆与y轴相离$

（更多请点击查看作业精灵详解）

$(2)解：存在,如图假设存在点F,过E点作$

$EH⊥OB于点H$$设BF=x$

$∵ ∠FBC=60°$

$∴BC=FB×cos∠FBC=\frac{1}{2}×x$

$同理FC= (\frac{ \sqrt{ 3}}{ 2})×x$

$∴ AF=4-x,OC=OB-BC=4-\frac{1}{2}×x$

$∵ AE⊥FE$

$∴AE=AF×cos∠OAB=2-\frac{1}{2}×x$

$∴OE=OA-AE=\frac{1}{2}×x+2$

$∵ ∠AOB=60°$

$\ ∴OH=OE×cos∠AOB=\frac{1}{4}×x+1$

$同理EH= (\frac{ \sqrt{ 3}}{ 4})×x+\sqrt{ 3}$

$∴ E点坐标为(\frac{1}{4}×x+1, (\frac{ \sqrt{ 3}}{ 4})×x+\sqrt{ 3})$

$F点坐标为(4-\frac{1}{2}×x, (\frac{ \sqrt{ 3}}{ 2})×x)$

$∵ E、F都在双曲线y=\frac{ k}{ x}上$

$∴(\frac{1}{4}×x+1)× ( (\frac{ \sqrt{ 3}}{ 4})×x+\sqrt{ 3})= (4-\frac{1}{2}×x)× (\frac{ \sqrt{ 3}}{ 2})×x$

$解得x=4或x=\frac{4}{5}$

$当BF=4时,AF=0,\frac{ BF}{ AF}不存在,舍去$

$当BF=\frac{4}{5}时,AF=\frac{16}{5},\ $

$\frac{ BF}{ AF}=\frac{1}{4}$