解：(1) 因为直线$y = mx + 4$与$y$轴交于点$D，$
所以$D(0,4)，$则$OD = 4。$
因为$S_{\triangle AOD}=2，$
所以$\frac{1}{2}\times OD\times|x_A|=2，$即$\frac{1}{2}\times4\times|x_A|=2，$
解得$|x_A| = 1。$
因为$CD = 2AD，$且点$A$在第二象限，所以$x_A=-1。$
将$A(-1,y)$代入$y = mx + 4$得$y=-m + 4，$再将$A(-1,-m + 4)$代入$y=\frac{k}{x}$得
$k=-1\times(-m + 4)=m - 4。$
又因为$A(-1,-m + 4)$在$y = mx + 4$上，
所以$-m + 4=-m + 4$恒成立。
将$A(-1,3)$（因为$S_{\triangle AOD}=2，$$OD = 4，$可得$A$纵坐标为$3$）代入$y=\frac{k}{x}$得$k=-3，$
所以反比例函数的表达式为$y =-\frac{6}{x}。$
(2) 因为点$P(a,b)$在线段$AC$上，$AC$在$y = mx + 4$上，$P(a,b)，$$E$点纵坐标与$P$点相同为$b，$
$E$点在$y =-\frac{6}{x}$上，则$E(-\frac{6}{b},b)。$
因为$P(a,b)$在$y = mx + 4$上，$y =-\frac{6}{x}$与$y = mx + 4$交点为$A$、$B，$$C$为$y = mx + 4$与$x$轴交点，
令$y = 0，$则$mx+4 = 0，$$x=-\frac{4}{m}，$即$C(-\frac{4}{m},0)。$
$\triangle PCE$的面积为$S_{\triangle PCE}=\frac{1}{2}\times|b|\times|a+\frac{6}{b}| = 3。$
因为$P(a,b)$在$y = mx + 4$上，且$A(-1,3)$在$y = mx + 4$上，可得$m = 1，$直线为$y=x + 4，$$P(a,a + 4)，$$E(-\frac{6}{a + 4},a + 4)。$
则$\frac{1}{2}\times|a + 4|\times|a+\frac{6}{a + 4}| = 3，$又因为$P$在线段$AC$上，$A(-1,3)，$$C(-4,0)，$解得$a = 0。$
