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$解：(1)a=1时y_1=(x+2)(x-2b)$

$将(-1,3)代入y_1得b=-2$

$(2)$

$①将a=b-2代入y_1得y_1=(x+2b-4)(x-2b)y_1与x轴交点为(4-2b，0)(2b，0)，$

$顶点横坐标为2|-1-2|=3，3-2=1$

$∵二次函数开口向上$

$∴图像上距离顶点远的点y值较大$

$∴m＞n$

$②y=y_1+y_2=(x+2b-4)(x-2b)-x+2b$

$=x^2-5x-4b^2+10b$

$将(c,0)代入解得c+2b-5=0或c=2b$