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$1.2$

$200m^{2}$

 解：(1) 因为对称轴为$x=-\frac{b}{2}=-\frac{1}{2}，$所以$b = 1。$

 又因为函数$y=x^{2}+bx + c$过$A(-2,5)，$所以$5=(-2)^{2}+(-2)\times1 + c，$$5 = 4-2 + c，$$c = 3，$二次函数表达式为$y=x^{2}+x + 3。$

 (2) 点$B(1,7)$向上平移$2$个单位长度，向左平移$m(m＞0)$个单位长度后坐标为$(1 - m,9)。$

 把$(1 - m,9)$代入$y=x^{2}+x + 3$得$9=(1 - m)^{2}+(1 - m)+3，$

 $9=1-2m+m^{2}+1 - m+3，$$m^{2}-3m - 4=0，$$(m - 4)(m + 1)=0，$因为$m＞0，$所以$m = 4。$

 (3) $y=x^{2}+x + 3=(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{11}{4}，$对称轴为$x=-\frac{1}{2}。$

 当$-2\leqslant x\leqslant-\frac{1}{2}$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＞-\frac{1}{2}$时，$y$随$x$的增大而增大。

 当$x=-2$时，$y=(-2)^{2}+(-2)+3 = 5；$当$x=-\frac{1}{2}$时，$y=\frac{11}{4}。$

 ① 当$-\frac{1}{2}\leqslant n\leqslant1$时，$y_{max}=5，$$y_{min}=\frac{11}{4}，$$y_{max}-y_{min}=5-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}，$满足条件。

 ② 当$n＞1$时，$y_{max}=n^{2}+n + 3，$$y_{min}=\frac{11}{4}，$$n^{2}+n + 3-\frac{11}{4}=\frac{9}{4}，$$n^{2}+n - 2=0，$$(n + 2)(n - 1)=0，$解得$n = 1$（舍去）或$n=-2$（舍去）。

 所以$-\frac{1}{2}\leqslant n\leqslant1。$

 解：(1) 把$A(-1,0)，$$C(0,3)$代入$y=ax^{2}-2ax + c$得

$\begin{cases}a + 2a + c=0\\c = 3\end{cases}，$

 把$c = 3$代入$a + 2a + c=0$得$3a+3 = 0，$$a=-1。$

 所以二次函数表达式为$y=-x^{2}+2x + 3。$

 $y=-x^{2}+2x + 3=-(x - 1)^{2}+4，$所以顶点$D(1,4)。$

 (2) 令$y = 0，$则$-x^{2}+2x + 3=0，$$x^{2}-2x - 3=0，$$(x - 3)(x + 1)=0，$解得$x_1 = 3，$$x_2=-1，$所以$B(3,0)。$

 设直线$BC$的方程为$y=kx + d，$

把$B(3,0)，$$C(0,3)$代入得$\begin{cases}3k + d=0\\d = 3\end{cases}，$解得$k=-1，$$d = 3，$
$y=-x + 3。$

 设$E(t,-t^{2}+2t + 3)(0＜t＜3)，$则$F(t,-t + 3)，$$EF=-t^{2}+2t + 3-(-t + 3)=-t^{2}+3t。$

 $AB = 4，$$OC = 3，$$BC=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3\sqrt{2}。$

 因为$EF// y$轴，$\angle EFC=\angle OCB。$

 当$\triangle EFC\sim\triangle BCA$时，$\frac{EF}{AB}=\frac{CF}{BC}，$
$CF=\sqrt{t^{2}+(-t + 3 - 3)^{2}}=\sqrt{2}t，$$\frac{-t^{2}+3t}{4}=\frac{\sqrt{2}t}{3\sqrt{2}}，$$\frac{-t^{2}+3t}{4}=\frac{t}{3}，$$-3t^{2}+9t = 4t，$$3t^{2}-5t = 0，$$t(3t - 5)=0，$$t=\frac{5}{3}，$$EF=-(\frac{5}{3})^{2}+3\times\frac{5}{3}=\frac{20}{9}。$

 当$\triangle EFC\sim\triangle BAC$时，$\frac{EF}{BC}=\frac{CF}{AB}，$$\frac{-t^{2}+3t}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}t}{4}，$$-4t^{2}+12t = 6t，$$4t^{2}-6t = 0，$$t(4t - 6)=0，$$t=\frac{3}{2}，$$EF=-(\frac{3}{2})^{2}+3\times\frac{3}{2}=\frac{9}{4}。$

 所以$EF=\frac{9}{4}$或$EF=\frac{20}{9}。$