解：首先化简$(\frac{2}{a - 1}-\frac{1}{a})\div\frac{a^{2}+a}{a^{2}-2a + 1}。$
先对括号内通分：
$\frac{2}{a - 1}-\frac{1}{a}=\frac{2a}{a(a - 1)}-\frac{a - 1}{a(a - 1)}=\frac{2a-(a - 1)}{a(a - 1)}=\frac{2a - a + 1}{a(a - 1)}=\frac{a + 1}{a(a - 1)}。$
对$\frac{a^{2}+a}{a^{2}-2a + 1}$化简：
$\frac{a^{2}+a}{a^{2}-2a + 1}=\frac{a(a + 1)}{(a - 1)^{2}}。$
则原式$=\frac{a + 1}{a(a - 1)}\div\frac{a(a + 1)}{(a - 1)^{2}}=\frac{a + 1}{a(a - 1)}\times\frac{(a - 1)^{2}}{a(a + 1)}=\frac{a - 1}{a^{2}}。$
已知$a^{2}+a - 1 = 0，$即$a^{2}=1 - a，$代入化简后的式子得：
$\frac{a - 1}{1 - a}=-1。$
