解：①设购买一个甲种品牌毽子需要$x$元，购买一个乙种品牌毽子需要$y$元。
根据题意可得方程组$\begin{cases}10x + 5y = 200\\15x + 10y = 325\end{cases}。$
将第一个方程两边同时乘以$2$得$20x+10y = 400。$
用$20x + 10y = 400$减去$15x + 10y = 325$得：
$20x+10y-(15x + 10y)=400 - 325，$
$20x+10y - 15x - 10y = 75，$
$5x = 75，$解得$x = 15。$
把$x = 15$代入$10x + 5y = 200$得：
$10\times15+5y = 200，$
$150+5y = 200，$
$5y = 50，$解得$y = 10。$
所以购买一个甲种品牌毽子需要$15$元，购买一个乙种品牌毽子需要$10$元。
②设购买甲种品牌毽子$m$个，购买乙种品牌毽子$n$个。
由题意得$\begin{cases}15m + 10n = 1000\\m\geqslant5n\\m\leqslant16n\end{cases}。$
由$15m + 10n = 1000$可得$m=\frac{1000 - 10n}{15}=\frac{200 - 2n}{3}。$
将$m=\frac{200 - 2n}{3}$代入$m\geqslant5n$得：$\frac{200 - 2n}{3}\geqslant5n，$
$200 - 2n\geqslant15n，$
$17n\leqslant200，$$n\leqslant\frac{200}{17}\approx11.76。$
将$m=\frac{200 - 2n}{3}$代入$m\leqslant16n$得：$\frac{200 - 2n}{3}\leqslant16n，$
$200 - 2n\leqslant48n，$
$50n\geqslant200，$$n\geqslant4。$
因为$n$为正整数，所以$n = 4，$$7，$$10。$
当$n = 4$时，$m=\frac{200-2\times4}{3}=\frac{192}{3}=64；$
当$n = 7$时，$m=\frac{200-2\times7}{3}=\frac{186}{3}=62；$
当$n = 10$时，$m=\frac{200-2\times10}{3}=\frac{180}{3}=60。$
所以有三种购买方案：甲购买$60$个，乙购买$10$个；甲购买$62$个，乙购买$7$个；甲购买$64$个，乙购买$4$个。
③设总利润为$W$元，则$W = 5m + 4n。$
由$15m + 10n = 1000$得$n = 100-\frac{3}{2}m。$
$W = 5m + 4(100-\frac{3}{2}m)=5m + 400 - 6m = 400 - m。$
因为$W$随$m$的增大而减小，所以当$m = 60$时，$W$有最大值。
此时$n = 10，$$W_{max}=400 - 60 = 340。$
所以甲购买$60$个，乙购买$10$个时，商家获利最大，最大利润为$340$元。
