$解：任务一：设一张该板材裁切靠背\ m\ 张, 坐垫\ n 张,$
$∵15 m+40 n=240$
$\ \therefore m=\frac{48-8 n}{3},$
$\ \because m, n\ 为非负整数,$
$\therefore\left\{\begin{array} { l } { m = 1 6 } \\{ n = 0 }\end{array} \text { 或 } \left\{\begin{array} { l } { m = 8 } \\{ n = 3 }\end{array} \text { 或 } \left\{\begin{array}{l}m=0 \\n=6\end{array}\right.\right.\right. \text {, }$
$故答案为: 8, 3 ; 0,6 ;$
$任务二:\ \because \frac{110 \times 240}{15+40}=480\ (张)\ $
$\ \ \therefore\ 购进110张该型号板材, 制作成 480 张学生椅;$
$任务三: 设用\ x\ 张板材裁切靠背 8 张和坐垫 3 张, 用\ y\ 张板材裁切靠背 0 张和坐垫 6 张,有：$
$\left\{\begin{array}{l}8 x=700-12 \\3 x+6 y=700-4\end{array},\right.解得:\ \left\{\begin{array}{l}x=86 \\ y=73\end{array}\right.$
$\ \ \because 86+73=159(\ 张)$
$\ \therefore\ 需要购买该型号板材 159 张, 用其中 86 张板材裁切靠背 8 张和坐垫 3 张,\ 用 73 张板材裁切靠背 0 张和坐垫 6 张$
