（2）解不等式组$\begin{cases}\frac{3x + 1}{2}\geqslant x \\\frac{x - 1}{2}\geqslant\frac{2x + 1}{3}-1 \end{cases}，$
解不等式$\frac{3x + 1}{2}\geqslant x，$去分母得$3x + 1\geqslant2x，$移项得$3x - 2x\geqslant - 1，$解得$x\geqslant - 1；$
解不等式$\frac{x - 1}{2}\geqslant\frac{2x + 1}{3}-1，$去分母得$3(x - 1)\geqslant2(2x + 1)-6，$
去括号得$3x - 3\geqslant4x + 2 - 6，$
移项得$3x - 4x\geqslant2 - 6 + 3，$
合并同类项得$-x\geqslant - 1，$解得$x\leqslant1。$
所以不等式组的解集为$-1\leqslant x\leqslant1。$
由$2x - k = 6$得$x=\frac{k + 6}{2}，$
因为方程$2x - k = 6$是不等式组的“关联方程”，所以$-1\leqslant\frac{k + 6}{2}\leqslant1，$
不等式两边同时乘以$2$得$-2\leqslant k + 6\leqslant2，$
移项得$-2 - 6\leqslant k\leqslant2 - 6，$
解得$-8\leqslant k\leqslant - 4。$
（3）解不等式组$\begin{cases}\frac{x + 2m}{2}\gt m \\x - m\leqslant2m + 1 \end{cases}，$
解不等式$\frac{x + 2m}{2}\gt m，$去分母得$x + 2m\gt2m，$解得$x\gt0；$
解不等式$x - m\leqslant2m + 1，$解得$x\leqslant3m + 1。$
所以不等式组的解集为$0\lt x\leqslant3m + 1。$
由$\frac{x + 7}{2}-3m = 0$得$x = 6m - 7，$
因为方程$\frac{x + 7}{2}-3m = 0$是不等式组的“关联方程”，所以$0\lt6m - 7\leqslant3m + 1，$
解$0\lt6m - 7$得$6m\gt7，$$m\gt\frac{7}{6}；$
解$6m - 7\leqslant3m + 1$得$6m - 3m\leqslant1 + 7，$$3m\leqslant8，$$m\leqslant\frac{8}{3}。$
又因为不等式组有$4$个整数解，即$1，$$2，$$3，$$4，$所以$4\leqslant3m + 1\lt5，$
解$4\leqslant3m + 1$得$3m\geqslant3，$$m\geqslant1；$
解$3m + 1\lt5$得$3m\lt4，$$m\lt\frac{4}{3}。$
$ 综上，\frac{7}{6}\leqslant m\lt\frac{4}{3}。$
