第30页 - 经纶学典学霸七年级数学上下册【江苏国标】

解：设大、小正方形的边长分别为$a，$$b，$

则$a + b = 18。$

由题图①知，$S_{阴影}=\frac {1}{2}ab = 40，$

所以$ab = 80。$

由题图②知，

$S_{阴影}=a^2+\frac {1}{2}(a + b)b-\frac {1}{2}a^2-\frac {1}{2}ab=\frac {a^2+b^2}{2}。$

因为$a + b = 18，$$ab = 80，$

所以$a^2+b^2=(a + b)^2-2ab=18^2-2×80 = 164，$

所以阴影部分的面积为$\frac {a^2+b^2}{2}=82。$

解：如图，得到$ED = 6 - a，$

$HG = b-(6 - a)=a + b - 6，$$BQ = 6 - b。$

因为长方形的周长为$16，$面积为$15.75，$

所以$a + b=\frac {16}{2}=8，$$ab = 15.75。$

所以$S_{1}+S_{2}+S_{3}=(6 - a)^2+(8 - 6)^2+(6 - b)^2$

$=72-12(a + b)+4+a^2+b^2$

$=72-12×8 + 4+(a + b)^2-2ab$

$=72-96 + 4+64-2×15.75 $

$= 12.5$

120

解：$(2)$设$2025 - x = c，$$2023 - x = d，$

则$c - d=(2025 - x)-(2023 - x)=2，$

$(2025 - x)(2023 - x)=cd，$

所以$(2025 - x)^2+(2023 - x)^2=c^2+d^2$

$=(c - d)^2+2cd = 4056，$

即$2^2+2cd = 4056，$解得$cd = 2026，$

即$(2025 - x)(2023 - x)=2026。$

$(3)$因为正方形$ABCD$的边长为$x，$$AE = 1，$

$CG = 2，$

所以$DE = x - 1，$$DG = x - 2。$

因为四边形$NGDH$和$MEDQ $都是正方形，四边

形$PQDH$是长方形，长方形$EFGD$的面积是$5，$

所以$DE = EM = MQ = QD = x - 1，$

$DG = GN = NH = HD = x - 2，$

所以$S_{长方形EFGD}=(x - 1)(x - 2)=5，$

$S_{正方形MEDQ}=(x - 1)^2，$

$S_{正方形NGDH}=(x - 2)^2，$

$S_{长方形PQDH}=(x - 1)(x - 2)=5，$

设$x - 1 = a，$$x - 2 = b，$则

$a - b=(x - 1)-(x - 2)=1，$

$ab=(x - 1)(x - 2)=5，$

所以阴影部分的面积$=S_{长方形EFGD}+S_{正方形MEDQ}+$

$S_{正方形NGDH}+S_{长方形PQDH}$

$=5+(x - 1)^2+(x - 2)^2+5$

$=a^2+b^2+10$

因为$(a - b)^2=a^2+b^2-2ab，$

即$1^2=a^2+b^2-10，$解得$a^2+b^2=11，$

所以$a^2+b^2+10=21，$即阴影部分的面积为$21。$