解：连接$AC。$
因为$DC$是$\odot A$的切线，
所以$AC\perp CD。$
又因为四边形$ABCD$是平行四边形，
所以$AB = AC = CD，$$AB// CD，$
所以$\triangle ACD$是等腰直角三角形，
所以$∠CAD = 45°，$$∠CAF = 90°，$
所以$∠EAF=∠CAF - ∠CAD = 45°。$
设$\odot A$的半径为$r。$
因为$\overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{\pi}{2}，$
所以$\frac{\pi}{2}=\frac{45\pi r}{180}，$解得$r = 2。$
所以$S_{阴影}=S_{\triangle ACD}-S_{扇形ACE}=\frac{1}{2}×2×2-\frac{45\pi×2^{2}}{360}=2 - \frac{\pi}{2}$
