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$\frac{10}{9}\pi$

$60^{\circ}$

$\frac{25\pi}{9}$

证明：(1)如图，连接$OE。$

因为$AB$是$\odot O$的直径，

所以$∠ACB = 90°。$

因为$CE$平分$∠ACB，$

所以$∠ACE=\frac{1}{2}∠ACB = 45°。$

因为$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AE}，$

所以$∠AOE = 2∠ACE = 90°。$

因为$EF// AB，$

所以$∠AOE+∠FEO = 180°，$

所以$∠FEO = 90°，$

所以$OE\perp FE。$

又因为$OE$是$\odot O$的半径，所以$EF$与$\odot O$相切。

(2) 解：如图，连接$OG$、$OC。$

因为$∠CAB = 30°，$$∠ACB = 90°，$

所以$∠B = 60°。$

因为$OB = OC，$

所以$\triangle OBC$为等边三角形，

所以$∠COB = 60°，$

所以$∠AOC = 180°-∠COB = 120°。$

因为$EG\perp AC，$$∠ACE = 45°，$

所以$∠MEC = 45°。$

因为$\overset{\frown}{CG}=\overset{\frown}{CG}，$所以$∠GOC = 2∠MEC = 90°，$

所以$∠AOG=∠AOC - ∠GOC = 30°。$

因为$AB = 8，$$AB$是$\odot O$的直径，

所以$OA = OG = 4，$

所以$\overset{\frown}{AG}$的长$=\frac{30\pi×4}{180}=\frac{2\pi}{3}$

解：如图，连接$OD、$$BD。$

$ $因为$OA = 12，$所以$OB = OD = 12。$

$ $因为$C$为$OB$的中点，$CD\perp OB，$

所以$BC = OC=\frac {1}{2}OB = 6，$$OD = BD，$

所以$OD = BD = OB，$

所以$\triangle BDO$为等边三角形，所以$∠DOB = 60°。$

$ $在$Rt\triangle DOC$中，由勾股定理，得$DC=\sqrt {OD^2-OC^2}=\sqrt {12^2-6^2} = 6\sqrt {3}。$

$ $所以$S_{涂色}=S_{扇形OAB}-S_{扇形OCE}-(S_{扇形OBD}-S_{\triangle OCD})$

$=\frac {100\pi ×12^2}{360}-\frac {100\pi ×6^2}{360}-(\frac {60\pi ×12^2}{360}-\frac {1}{2}×6×6\sqrt {3})$

$=18\sqrt {3}+6\pi$