解：连接$OA.$
∵$CD = 10，$
∴$OA=OC = OD = 5$
.∵$OM：OC = 3：5，$
∴$OM = 3，$
∴在$Rt\triangle AMO$中，$AM=\sqrt {OA^2-OM^2}=\sqrt {5^2-3^2} = 4.$
如图①，当点$M$在半径$OD$上时，$CM=OC + OM = 5 + 3 = 8.$
∴在$Rt\triangle AMC$中，$AC=\sqrt {AM^2+CM^2}=\sqrt {4^2+8^2} = 4\sqrt {5}.$
如图②，当点$M$在半径$OC$上时，$CM=OC - OM = 5 - 3 = 2.$
∴在$Rt\triangle AMC$中，$AC=\sqrt {AM^2+CM^2}=\sqrt {4^2+2^2} = 2\sqrt {5}.$
综上所述，弦$AC$的长为$4\sqrt {5}$或$2\sqrt {5}$
