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$\frac{16\pi}{9}$

$2\sqrt{2}$或$\sqrt{5}$

解：$(1)$设$∠BAC=α。$

根据题意，得$\overset {\frown }{EF}$的长就是圆锥底面圆的周长，

$ $所以$\frac {α}{180°}×\pi ×AD = ED×\pi 。$

$ $又因为$AD = 2ED，$

$ $所以$\frac {α}{180°}×\pi ×2ED = ED×\pi ，$

$ $两边同时除以$ED\pi$得：$\frac {α}{90°} = 1，$

解得$α= 90°，$即$∠BAC = 90°。$

$(2)$因为圆锥底面圆的直径$ED$为$5\ \mathrm {cm}，$

所以$AD = 2ED = 10\ \mathrm {cm}。$

$ $因为$∠BAC = 90°，$$AB = AC，$

所以$\triangle ABC$是等腰直角三角形。

$ $因为$AD\perp BC，$

所以$BC = 2AD = 20\ \mathrm {cm}。$

$ S_{涂色}=S_{\triangle ABC}-S_{扇形AEF}=\frac {1}{2}BC·AD-\frac {90\pi ×AD^2}{360}=\frac {1}{2}×20×10-\frac {90\pi ×10^2}{360}=(100 - 25\pi )\mathrm {cm}^2。$

解：设圆锥底面圆的半径为$r，$母线长为$l，$展开后圆心角的度数为$n°，$

则底面圆的周长为$2\pi r，$侧面展开图的弧长为$\frac{n\pi l}{180}。$

所以$2\pi r=\frac{n\pi l}{180}。$

因为轴截面$\triangle ABC$为等边三角形，所以$AB = BC，$即$l = 2r = 6，$

则$r = 3。$

所以$2\pi×3=\frac{n\pi×6}{180}，$

$6\pi=\frac{n\pi}{30}，$

$n = 180，$其侧面展开图如图②所示，

则$\triangle ABP$为直角三角形，$BP$为最短路线，$AP = 3。$

在$Rt\triangle ABP$中，$BP=\sqrt{6^{2}+3^{2}}=\sqrt{36 + 9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}。$

所以小猫所经过的最短路程是$3\sqrt{5}。$