第73页 - 通城学典课时作业本九年级数学苏科版江苏专版

$\sqrt{5}-1$

4

6

解：如图，连接$AC$

∵$CF⊥AE$

∴$∠AFC=90°$

∴图中出现了$“$定长$(\mathrm {AC})$对直角$(∠AFC)”$模型

∴点$F $的运动路径为以$AC$为直径的半圆$.$

当点$E$位于点$B$时，$CO⊥AE，$此时点$F $与点$О$重合；

当点$E$位于点$D$时，$CA⊥AE，$此时点$F $与点$A$重合

∴当点$E$从点$B$出发按顺时针方向运动到点$D$时，点$F $所经过的路径长是${\widehat {AO}}$的长

连接$AG，$∵点$G $的坐标为$(0，$$1)$

∴$OG=1$

∵$AG=CG=2$

∴在$Rt△AOG $中，$AO=\sqrt {2^2-1^2}=\sqrt {3}$

∴在$Rt△AOC$中，$AC=\sqrt {{AO}^2+{OC}^2}=\sqrt {{(\sqrt {3})}^2+{(2+1)}^2}=2\sqrt {3}$

取$AC$的中点$H，$连接$OH，$则在$Rt△AOC$中，$OH=\frac 1 2AC=\sqrt {3}$

∴$AH=OH=AO=\sqrt {3}，$即$△AHO$为等边三角形

∴$∠AHO=60°$

∴${\widehat {AO}}$的长为$\frac {60π×\sqrt {3}}{180}=\frac {\sqrt {3}}3π$

∴当点$E$从点$B$出发按顺时针方向运动到点$D$时，点$F $所经过的路径长为$\frac {\sqrt {3}}3π$

B

解：因为$\triangle ABC$是等边三角形，$AB = 6，$

所以$AB = BC = AC = 6，$$∠ABD=∠BCE = 60°。$

在$\triangle ABD$和$\triangle BCE$中，

$\begin {cases}AB = BC\\∠ABD=∠BCE\\BD = CE\end {cases}，$

所以$\triangle ABD\cong \triangle BCE，$

所以$∠BAD=∠CBE。$

因为$∠AFB$是$\triangle BDF $的一个外角，

所以$∠AFB=∠CBE+∠ADB=∠BAD+∠ADB。$

在$\triangle ABD$中，$∠BAD+∠ADB=180°-∠ABD = 120°，$

所以$∠AFB = 120°，$

所以点$F $的运动路径是以点$O$为圆心的如图所示的$\overset {\frown }{AB}，$

且$∠AOB = 2(180°-∠AFB)=120°。$连接$OA、$$OB、$$OC、$$OF。$

因为$OA = OB，$$AC = BC，$$OC = OC，$

所以$\triangle AOC\cong \triangle BOC，$

所以$∠OAC=∠OBC，$$∠ACO=∠BCO = 30°。$

因为四边形$OBCA$的内角和为$360°，$$∠AOB+∠ACB=120°+60°=180°，$

所以$∠OBC = 90°，$

在$Rt\triangle OBC$中，易得$OB=\frac {1}{2}OC。$

由勾股定理，得$OB^2+BC^2=OC^2，$

即$OB^2+6^2=(2OB)^2。$

所以$OB = 2\sqrt {3}，$此时$OF = OB = 2\sqrt {3}，$$OC = 2OB = 4\sqrt {3}。$

因为点$F $在$\overset {\frown }{AB}$上运动，总有$CF\geqslant OC - OF，$即$CF\geqslant 2\sqrt {3}，$

所以当$O、$$F、$$C$三点共线时，$CF $的长取得最小值，为$2\sqrt {3}。$