解$： (1)$∵$∠BAE=∠CAD，$
∴$∠BAE+∠BAD=∠CAD+∠BAD，$
即$∠EAD=∠BAC。$
又∵$∠ADE=∠ACB，$$AD = AC，$
∴$\triangle ADE\cong \triangle ACB，$
∴$AE = AB。$
∵$AB = 8，$
∴$AE = 8 $
$ (2)$如图，连接$BO$并延长交$\odot O$于点$F，$连接$AF。$
∵$BF $是$\odot O$的直径，
∴$∠BAF = 90°，$
∴在$Rt\triangle BAF{中}，$$∠AFB+∠ABF = 90°。$
∵$\overset {\frown }{AB}=\overset {\frown }{AB}，$
∴$∠AFB=∠ACB，$
∴$∠ACB+∠ABF = 90°。$
∵$AD = AC，$
∴$∠ACB=∠ADC，$
∴在$\triangle ADC$中，$2∠ACB+∠CAD = 180°。$
由$(1)$知，$AE = AB，$
∴$∠AEB=∠ABE，$
∴在$\triangle ABE$中，$2∠ABE+∠BAE = 180°。$
∵$∠BAE = ∠CAD，$
∴$∠ACB = ∠ABE，$
∴$∠ABE+∠ABF = 90°，$即$∠OBE = 90°，$
∴$OB\perp BE。$
∵$OB$为$\odot O$的半径，
∴$EB$是$\odot O$的切线
