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$\frac{2}{5}$

解：将分式方程$\frac{x}{x - 1}-1=\frac{m}{(x - 1)(x + 2)}$去分母、整理，得$x + 2 = m。$

根据题意，当$x = 1$或$-2$时，原分式方程的分母为$0，$此时分式方程无解。

当$x = 1$时，$m = 3；$当$x = -2$时，$m = 0。$

在$1$、$2$、$3$、$4$、$5$中取一个数字使分式方程无解的情况只有$m = 3$这$1$种，

所以数字$m$使分式方程$\frac{x}{x - 1}-1=\frac{m}{(x - 1)(x + 2)}$无解的概率为$\frac{1}{5}。$

解：解$\frac{3x - 2}{2}<x + 1，$得$x<4。$

当$a = -1$或$3$时，原不等式组$\begin{cases}\frac{3x - 2}{2}<x + 1 \\ax>8\end{cases}$有解；当$a = 0$或$2$时，原不等式组无解。

记使关于$x$的不等式组$\begin{cases}\frac{3x - 2}{2}<x + 1 \\ax>8\end{cases}$有解为事件$A，$所以$P(A)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}。$

解：若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + 1 = 0$有两个不相等的实数根，则$b^{2}-4a>0。$

画树状图如下：

由树状图可知，共有$9$种等可能的结果，其中不满足$b^{2}-4a>0$的结果有$4$种，

所以$P$（小华获胜）$=\frac{4}{9}。$