解：$(1)$袋中球的总数为$5 + 13 + 22 = 40($个$)，$从袋中摸出$1$个球是黄球的概率$P=\frac {5}{40}=\frac {1}{8}。$
$(2)$设取出了$x$个黑球，
根据题意，得$\frac {5 + x}{5 + 13 + 22}\geq \frac {1}{3}，$即$\frac {5 + x}{40}\geq \frac {1}{3}，$
两边同时乘以$40$得$5 + x\geq \frac {40}{3}，$
移项可得$x\geq \frac {40}{3}-5=\frac {40 - 15}{3}=\frac {25}{3}。$
因为$x$为正整数，
所以$x$的最小正整数值是$9，$
所以至少取出了$9$个黑球。
