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解：对于方程$4x(x - 2)=x - 2，$

移项得$4x(x - 2)-(x - 2)=0，$

提取公因式$(x - 2)$得$(x - 2)(4x - 1)=0，$

则$x - 2 = 0$或$4x - 1 = 0，$

解得$x_1 = 2，$$x_2=\frac{1}{4}。$

解：对于方程$(x + 3)^{2}-5(x + 3)=-6，$

设$y=x + 3，$则原方程化为$y^{2}-5y + 6 = 0，$

因式分解得$(y - 2)(y - 3)=0，$

则$y - 2 = 0$或$y - 3 = 0，$即$y_1 = 2，$$y_2 = 3。$

当$y = 2$时，$x + 3 = 2，$解得$x=-1；$

当$y = 3$时，$x + 3 = 3，$解得$x = 0。$

所以$x_1 = 0，$$x_2=-1。$

解：$(1)$对于方程$x^2-4x + 3 = 0，$因式分解得$(x - 1)(x - 3)=0，$

$ $则$x - 1 = 0$或$x - 3 = 0，$解得$x_{1} = 1，$$x_{2} = 3。$

$(2)$当$3$是直角三角形的斜边长时，第三边的长为$\sqrt {3^2-1^2}=\sqrt {9 - 1}=2\sqrt {2}；$

$ $当$1$和$3$是直角三角形的直角边长时，第三边的长为$\sqrt {3^2+1^2}=\sqrt {9 + 1}=\sqrt {10}。$

$ $所以第三边的长为$2\sqrt {2}$或$\sqrt {10}。$

解：因为实数$s$、$t$满足$2s^{2}+3s - 1 = 0，$$2t^{2}+3t - 1 = 0，$且$s\neq t，$

所以$s$、$t$是一元二次方程$2x^{2}+3x - 1 = 0$的两个不相等的实数根，

根据韦达定理，$s + t=-\frac{3}{2}，$$st=-\frac{1}{2}。$

因为$(t - s)^{2}=(t + s)^{2}-4st=(-\frac{3}{2})^{2}-4×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4}+2=\frac{17}{4}，$

所以$t - s=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}，$

则$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t - s}{st}=\frac{\pm\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\pm\sqrt{17}。$

解:(1)因为关于$x$的一元二次方程$x^{2}-6x + 2a + 5 = 0$有两个不相等的实数根$x_1$、$x_2，$

所以$∆=(-6)^{2}-4(2a + 5)＞0，$

即$36-8a - 20＞0，$

$16-8a＞0，$

$8a＜16，$解得$a＜2。$

(2)由根与系数的关系，得$x_1 + x_2 = 6，$$x_1x_2 = 2a + 5。$

因为$x_1^{2}+x_2^{2}-x_1x_2\leqslant30，$

所以$(x_1 + x_2)^{2}-3x_1x_2\leqslant30，$

即$6^{2}-3(2a + 5)\leqslant30，$

$36-6a - 15\leqslant30，$

$21-6a\leqslant30，$

$-6a\leqslant30 - 21，$

$-6a\leqslant9，$

$a\geqslant-\frac{3}{2}。$

又因为$a＜2$且$a$为整数，

所以$a$的值为$-1，$$0，$$1。$