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$8\sqrt{2}$

解:(2)因为$AP = CQ = 2t\mathrm{cm}，$$AB = 8\mathrm{cm}，$

所以$BP=\vert8 - 2t\vert\mathrm{cm}。$

又因为$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}CQ·BP，$

所以$S=\frac{1}{2}×2t·\vert8 - 2t\vert=t\vert8 - 2t\vert。$

易知当$t = 4$时，点$P$与点$B$重合，此时不存在$\triangle PCQ，$

所以$S=\begin{cases}-2t^{2}+8t(0＜t＜4)\\2t^{2}-8t(t＞4)\end{cases}。$

当$0＜t＜4$时，令$-2t^{2}+8t=\frac{1}{2}×8×8，$即$t^{2}-4t + 16 = 0。$

因为$(-4)^{2}-4×1×16=16 - 64=-48＜0，$

所以该方程无解。

当$t＞4$时，令$2t^{2}-8t=\frac{1}{2}×8×8，$即$t^{2}-4t - 16 = 0，$

根据求根公式$t=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4×1×(-16)}}{2×1}=\frac{4\pm\sqrt{16 + 64}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{80}}{2}=\frac{4\pm4\sqrt{5}}{2}=2\pm2\sqrt{5}，$

解得$t_1 = 2 - 2\sqrt{5}$（不合题意，舍去），$t_2 = 2 + 2\sqrt{5}。$

所以当点$P$运动$(2 + 2\sqrt{5})\mathrm{s}$时，$S_{\triangle PCQ}=S_{\triangle ABC}。$

解:(1)设3月再生纸的产量为$x$吨，则4月再生纸的产量为$(2x - 100)$吨。

根据题意，得$x + 2x - 100 = 800，$

$3x=800 + 100，$

$3x = 900，$解得$x = 300。$

此时$2x - 100 = 2×300 - 100 = 500。$

答：$4$月再生纸的产量为$500$吨。

(2)根据题意，得$1000(1+\frac{m}{2}\%)×500(1 + m\%)=660000。$

设$m\%=y，$则方程化为$1000(1+\frac{y}{2})×500(1 + y)=660000，$

$500000(1+\frac{y}{2})(1 + y)=660000，$

$(1+\frac{y}{2})(1 + y)=\frac{660000}{500000}=\frac{33}{25}，$

$1 + y+\frac{y}{2}+\frac{y^{2}}{2}=\frac{33}{25}，$

$25 + 25y+\frac{25y}{2}+\frac{25y^{2}}{2}=33，$

$50 + 50y + 25y+25y^{2}=66，$

$25y^{2}+75y - 16 = 0，$

$(5y - 1)(5y + 16)=0，$

解得$y_1=\frac{1}{5}，$$y_2=-\frac{16}{5}$（舍去）。

因为$m\%=y，$所以$m = 20。$

答：$m$的值为20。

(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为$y，$5月再生纸的产量为$a$吨。

根据题意，得$1200(1 + y)^{2}·a(1 + y)=(1 + 25\%)×1200(1 + y)·a，$

两边同时除以$a(1 + y)$（因为$a\neq0，$$y\neq - 1$）得$1200(1 + y)^{2}=1500，$

$(1 + y)^{2}=\frac{1500}{1200}=\frac{5}{4}，$

$1 + y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}，$

$y=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}-1，$舍去负根，$y=\frac{\sqrt{5}}{2}-1。$

所以6月每吨再生纸的利润是$1200(1 + y)=1200×(1+\frac{\sqrt{5}}{2}-1)=1500$元。

答：$6$月每吨再生纸的利润是$1500$元。