解：$(1)$因为$OA = OB，$$∠ABO = 30°，$
所以$∠A=∠ABO = 30°。$
$ $因为$∠A+∠ABO+∠AOB = 180°，$
所以$∠AOB=180°-∠A - ∠ABO=180°-30°-30°=120°。$
$ $因为直线$MN$是$\odot O$的切线，
所以$EC\perp MN，$即$∠ECM = 90°。$
$ $又因为$AB// MN，$
所以$∠CDB=∠ECM = 90°。$
$ $在$Rt\triangle BDO$中，$∠BOE = 90°-∠ABO=90°-30°=60°。$
$ $因为$\overset {\frown }{BE}=\overset {\frown }{BE}，$
所以$∠BCE=\frac {1}{2}∠BOE = 30°。$
$(2)$连接$OC，$则$OC = OA = 3。$
$ $因为直线$MN$是$\odot O$的切线，
所以$OC\perp MN。$
$ $又因为$OB// MN，$
所以$OC\perp OB，$即$∠COB = 90°。$
$ $因为$CG\perp AB，$
所以$∠FGB = 90°。$
$ $因为$\triangle COF $与$\triangle FGB$的内角和都为$180°，$$∠OFC=∠BFG，$
所以$∠OCF=∠ABO = 30°。$
$ $在$Rt\triangle COF_{中}，$设$OF = x，$则$CF = 2x。$
$ $由勾股定理$OC^2+OF^2=CF^2，$即$3^2+x^2=(2x)^2，$
$ 9 + x^2=4x^2，$
$ 3x^2=9，$
$ x^2=3，$
$ $解得$x = \sqrt {3}($负值舍去$)，$
所以线段$OF $的长为$\sqrt {3}。$
