证明：$(1)$连接$OC。$
$ $因为$OC = OB，$所以$∠B=∠BCO。$
$ $因为$∠AOC$是$\triangle BOC$的外角，
所以$∠AOC=∠B+∠BCO = 2∠B。$
$ $又因为$∠FCD = 2∠B，$
所以$∠FCD=∠AOC。$
$ $因为$AB\perp CD，$
所以$∠CEO = 90°，$
在$Rt\triangle CEO$中，$∠AOC+∠OCD = 90°，$
所以$∠FCD+∠OCD = 90°，$即$∠OCF = 90°，$$OC\perp CF。$
$ $因为$OC$是$\odot O$的半径，
所以$CF $是$\odot O$的切线。
$(2)$因为$AB$是$\odot O$的直径，$CD$是$\odot O$的弦，且$AB\perp CD，$
所以$CE=\frac {1}{2}CD = 6。$
$ $因为$AB = 20，$
所以$OC = 10。$
$ $在$Rt\triangle CEO$中，
$OE=\sqrt {OC^2-CE^2}=\sqrt {10^2-6^2}=\sqrt {100 - 36}=\sqrt {64}=8。$
$ $因为$OC\perp CF，$
在$Rt\triangle FCO$中，$CF^2=OF^2-OC^2=(EF + 8)^2-100。$
$ $在$Rt\triangle CEF_{中}，$$CF^2=EF^2+CE^2=EF^2+36。$
$ $所以$(EF + 8)^2-100=EF^2+36，$
$ EF^2+16EF + 64-100=EF^2+36，$
$ 16EF=36 + 100 - 64，$
$ 16EF = 72，$
$ $解得$EF=\frac {9}{2}，$
所以$EF $的长为$\frac {9}{2}。$
