解：$(2)$他应往袋中加入黄球。
理由：记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
由表格，可知共有$20$种等可能的结果。
①若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有$8$种，
此时该顾客获得精美礼品的概率$P_1=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}；$
②若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有$12$种，
此时该顾客获得精美礼品的概率$P_2=\frac{12}{20}=\frac{3}{5}。$
因为$\frac{2}{5}＜\frac{3}{5}，$
所以$P_1＜P_2，$
所以他应往袋中加入黄球。
