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$5$或$7$

$-1012$

解：原式= $a^{2}+6ab + 9b^{2}$

解：原式= $a^{4}-a^{2}+\frac{1}{4}$

解：原式= $1004004$

解：原式= $8a$

解：原式= $-5xy$

 解：原式$=3x^{2}+3x - x - 1+x^{2}-4x + 4 - 3=4x^{2}-2x。$

 当$2x^{2}-x = 1$时，原式$=2(2x^{2}-x)=2\times1 = 2。$

 解：

 (1)因为$x + y = 3，$$xy = 2，$

 所以$x^{2}+y^{2}=(x + y)^{2}-2xy=3^{2}-2\times2=9 - 4 = 5。$

 $(x - y)^{2}=(x + y)^{2}-4xy=3^{2}-4\times2=9 - 8 = 1。$

 (2)因为$x + 2y = 3，$$xy = 1，$

 所以$x^{2}-xy + 4y^{2}=x^{2}+4xy + 4y^{2}-5xy=(x + 2y)^{2}-5xy=3^{2}-5\times1=9 - 5 = 4。$

$3$

$0$

 解：

 (2)因为$x^{2}-2xy + 2y^{2}-4y + 4 = 0，$

 所以$x^{2}-2xy + y^{2}+y^{2}-4y + 4 = 0，$

 所以$(x - y)^{2}+(y - 2)^{2}=0，$

 所以$x - y = 0$且$y - 2 = 0，$

 所以$x = y = 2，$

 所以$x^{y}=2^{2}=4。$

 (3)因为$a^{2}+b^{2}-2a - 6b + 10 = 0，$

 所以$a^{2}-2a + 1+b^{2}-6b + 9 = 0，$

 所以$(a - 1)^{2}+(b - 3)^{2}=0，$

 所以$a - 1 = 0，$$b - 3 = 0，$

 所以$a = 1，$$b = 3，$

 所以边长$c$的取值范围是$3 - 1\lt c\lt3 + 1，$

 即$2\lt c\lt4。$

 因为$a，$$b，$$c$都是正整数，

 所以$c = 3，$所以$\triangle ABC$的周长为$1 + 3 + 3 = 7。$