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$\begin{cases}x = 4 \\ y = 1\end{cases}$

 解：$\begin{cases}x + 2y = 9,① \\ y = 3x + 1,②\end{cases}$

 将②代入①，得$x + 6x + 2 = 9，$

 $7x=9 - 2，$

 $7x = 7，$

 解得$x = 1。$

 将$x = 1$代入①，得$1 + 2y = 9，$

 $2y=9 - 1，$

 $2y = 8，$

 解得$y = 4。$

 所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 1 \\ y = 4\end{cases}。$

 解：$\begin{cases}x + 2y = 3,① \\ 3x - 4y = 4,②\end{cases}$

 ①$\times2 +$②，得$2x + 4y + 3x - 4y = 6 + 4，$

 $5x = 10，$

 解得$x = 2。$

 将$x = 2$代入①，得$2 + 2y = 3，$

 $2y=3 - 2，$

 $2y = 1，$

 解得$y = \frac{1}{2}。$

 所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = \frac{1}{2}\end{cases}。$

 解：方程组整理，得$\begin{cases}3x - 5y = 3,① \\ 3x - 2y = 6,②\end{cases}$

 ②$-$①，得$3x - 2y -(3x - 5y)=6 - 3，$

 $3x - 2y - 3x + 5y = 3，$

 $3y = 3，$

 解得$y = 1。$

 将$y = 1$代入①，得$3x - 5 = 3，$

 $3x=3 + 5，$

 $3x = 8，$

 解得$x = \frac{8}{3}。$

 所以原方程组的解为$\begin{cases}x = \frac{8}{3} \\ y = 1\end{cases}。$

 解：$\begin{cases}x + y + z = 6,① \\ x + z = 4,② \\ x = 3,③\end{cases}$

 把③代入①②，得$\begin{cases}3 + y + z = 6 \\ 3 + z = 4\end{cases}，$

 由$3 + z = 4，$得$z = 4 - 3 = 1。$

 把$z = 1$代入$3 + y + z = 6，$得$3 + y + 1 = 6，$

 $y=6 - 3 - 1，$

 $y = 2。$

 所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 3 \\ y = 2 \\ z = 1\end{cases}。$

 解：由题意，得$\begin{cases}-2 - 3b = 1 \\ a - 1 = 3\end{cases}，$

 解$-2 - 3b = 1，$

 $-3b=1 + 2，$

 $-3b = 3，$

 $b = -1。$

 解$a - 1 = 3，$得$a = 3 + 1 = 4。$

 所以原式$=(a + 3b)^2 - 10=[4 + 3\times(-1)]^2 - 10$

 $=(4 - 3)^2 - 10$

 $=1 - 10$

 $=-9。$

 解：

 (1)$\begin{cases}x = m + 2,① \\ y = \frac{5 - m}{2},②\end{cases}$

 由①，得$m = x - 2，$代入②，得$y = \frac{5-(x - 2)}{2}=\frac{7 - x}{2}。$

 (2)当$x = 1$时，$y = \frac{7 - 1}{2}=3；$当$x = 3$时，$y = \frac{7 - 3}{2}=2；$

 当$x = 5$时，$y = \frac{7 - 5}{2}=1；$当$x = 7$时，$y = \frac{7 - 7}{2}=0。$

 (3)方程组整理，得$x + 2y = m + 2 + 5 - m = 7，$则原式$=(-2)^{x + 2y}=(-2)^7=-128。$

 解：

 (1)因为$x + 2y - 6 = 0，$所以$y = 3 - \frac{1}{2}x。$

 又因为$x，$$y$均为正整数，

 所以当$x = 2$时，$y = 3 - \frac{1}{2}\times2 = 2；$当$x = 4$时，$y = 3 - \frac{1}{2}\times4 = 1。$

 所以方程$x + 2y - 6 = 0$的所有正整数解为$\begin{cases}x = 2 \\ y = 2\end{cases}，$$\begin{cases}x = 4 \\ y = 1\end{cases}。$

 (2)由题意，得$\begin{cases}x + y = 0 \\ x + 2y - 6 = 0\end{cases}，$

 由$x + y = 0$得$x = -y，$代入$x + 2y - 6 = 0，$得$-y + 2y - 6 = 0，$

 $y - 6 = 0，$

 解得$y = 6，$则$x = -6。$

 把$\begin{cases}x = -6 \\ y = 6\end{cases}$代入$x - 2y + mx + 5 = 0，$得$-6 - 2\times6 - 6m + 5 = 0，$

 $-6 - 12 - 6m + 5 = 0，$

 $-13 - 6m = 0，$

 $6m=-13，$

 解得$m = -\frac{13}{6}。$

 (3)由$x - 2y + mx + 5 = 0，$得$(m + 1)x = 2y - 5，$而无论$m$取何值，该方程总有一个固定的解，所以有$\begin{cases}x = 0 \\ 2y - 5 = 0\end{cases}，$

 解$2y - 5 = 0，$得$2y = 5，$$y = \frac{5}{2}。$

 所以固定的解为$\begin{cases}x = 0 \\ y = \frac{5}{2}\end{cases}。$