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$8\lt x\leq13$

 解：（1）去括号，得$2x + 2\lt3x - 1，$

 移项，得$2x - 3x\lt - 1 - 2，$

 合并同类项，得$-x\lt - 3，$

 两边都除以$-1，$得$x\gt3。$

 解：（2）去分母，得$x - 6\gt2(x - 2)，$

 去括号，得$x - 6\gt2x - 4，$

 移项，得$x - 2x\gt - 4 + 6，$

 合并同类项，得$-x\gt2，$

 两边都除以$-1，$得$x\lt - 2。$

 解：去分母，得$1 + x\geq3(x - 1)，$

 去括号，得$1 + x\geq3x - 3，$

 移项，得$x - 3x\geq - 3 - 1，$

 合并同类项，得$-2x\geq - 4，$

 两边都除以$-2，$得$x\leq2。$

 所以其正整数解为$1，$$2。$

 解：（1）因为$x + 2y = - 6，$所以$y = - 3-\frac{1}{2}x。$

 （2）由题意，得$-2\lt y\lt0，$所以$-2\lt - 3-\frac{1}{2}x\lt0。$

 先解$-2\lt - 3-\frac{1}{2}x，$移项可得$\frac{1}{2}x\lt - 3 + 2，$即$\frac{1}{2}x\lt - 1，$两边同乘$2$得$x\lt - 2；$

 再解$- 3-\frac{1}{2}x\lt0，$移项可得$\frac{1}{2}x\gt - 3，$两边同乘$2$得$x\gt - 6。$

 所以$-6\lt x\lt - 2。$

 解：因为$3x - 1 = 2(x + a)，$所以$3x - 1 = 2x + 2a，$移项可得$x = 2a + 1。$

 因为$\frac{2x - a}{2}\gt\frac{x + 1}{3}，$去分母得$3(2x - a)\gt2(x + 1)，$

 去括号得$6x - 3a\gt2x + 2，$

 移项得$6x - 2x\gt2 + 3a，$

 合并同类项得$4x\gt3a + 2，$

 两边都除以$4$得$x\gt\frac{3a + 2}{4}。$

 因为关于$x$的方程$3x - 1 = 2(x + a)$的解满足不等式$\frac{2x - a}{2}\gt\frac{x + 1}{3}，$

 所以$2a + 1\gt\frac{3a + 2}{4}，$

 去分母得$4(2a + 1)\gt3a + 2，$

 去括号得$8a + 4\gt3a + 2，$

 移项得$8a - 3a\gt2 - 4，$

 合并同类项得$5a\gt - 2，$

 两边都除以$5$得$a\gt - \frac{2}{5}。$

 解：（1）分情况讨论：

 ①当$2x + 1\geq0，$即$x\geq - \frac{1}{2}$时，原方程可化为$2x + 1 = 3，$

 移项得$2x = 3 - 1，$即$2x = 2，$解得$x = 1。$

 ②当$2x + 1\lt0，$即$x\lt - \frac{1}{2}$时，原方程可化为$-2x - 1 = 3，$

 移项得$-2x = 3 + 1，$即$-2x = 4，$解得$x = - 2。$

 所以原方程的解为$x = 1$或$x = - 2。$

 （2）分情况讨论：

 ①当$x - 1\geq0，$即$x\geq1$时，原不等式可化为$x - 1\gt4，$

 移项得$x\gt4 + 1，$解得$x\gt5。$

 ②当$x - 1\lt0，$即$x\lt1$时，原不等式可化为$-(x - 1)\gt4，$

 去括号得$-x + 1\gt4，$

 移项得$-x\gt4 - 1，$即$-x\gt3，$解得$x\lt - 3。$

 所以原不等式的解集为$x\gt5$或$x\lt - 3。$