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①③⑤

 证明：因为$MN$平分$\angle BMH，$$HG$平分$\angle CHM，$

 所以$\angle 1=\frac{1}{2}\angle BMH，$$\angle 2=\frac{1}{2}\angle CHM.$

 因为$AB// CD，$所以$\angle BMH=\angle CHM.$

 所以$\angle 1=\angle 2，$所以$MN// GH.$

 证明：因为$\angle 1 = 52^{\circ}，$$\angle 2 = 128^{\circ}$（已知），

 所以$\angle 1+\angle 2 = 180^{\circ}，$

 所以$BD// CE$（同旁内角互补，两直线平行），

 所以$\angle C=\angle ABD$（两直线平行，同位角相等）.

 因为$\angle C=\angle D$（已知），

 所以$\angle ABD=\angle D$（等量代换），

 所以$AC// DF$（内错角相等，两直线平行），

 所以$\angle A=\angle F$（两直线平行，内错角相等）.

 解：已知：如图，点$O$在直线$AB$上，$OM，$$ON$分别平分$\angle AOC，$$\angle BOC.$

 求证：$OM\perp ON.$

 证明：因为$OM，$$ON$分别平分$\angle AOC，$$\angle BOC，$

 所以$\angle COM=\frac{1}{2}\angle AOC，$$\angle CON=\frac{1}{2}\angle BOC.$

 因为点$O$在直线$AB$上，

 所以$\angle AOC+\angle BOC = 180^{\circ}，$

 所以$\angle COM+\angle CON=\frac{1}{2}\angle AOC+\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}(\angle AOC+\angle BOC)=\frac{1}{2}\times180^{\circ}=90^{\circ}，$

 即$\angle MON = 90^{\circ}.$ 所以$OM\perp ON.$