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$50^{\circ}$

 解：（1）因为一个$n$边形的每一个内角都等于$135^{\circ}，$

 所以这个$n$边形的每一个外角的度数都为$180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}，$

 所以$n = 360^{\circ}\div45^{\circ}=8.$

 （2）因为$135^{\circ}\times8 = 1080^{\circ}，$

 所以这个$n$边形的内角和为$1080^{\circ}.$

 （3）因为$\frac{8\times(8 - 3)}{2}=20$（条），

 所以这个$n$边形一共有$20$条对角线.

 证明：因为$AD\perp CD，$$BC\perp AB，$

 所以$\angle B=\angle D = 90^{\circ}.$

 又因为在四边形$ABCD$中，$\angle BAD+\angle B+\angle BCD+\angle D = 360^{\circ}，$

 所以$\angle DAB+\angle DCB = 180^{\circ}.$

 因为$AE$平分$\angle BAD，$$CF$平分$\angle DCB，$

 所以$\angle DCF=\frac{1}{2}\angle BCD，$$\angle DAE=\frac{1}{2}\angle BAD，$

 所以$\angle BAE+\angle DCF = 90^{\circ}.$

 又因为$\angle BAE+\angle AED = 90^{\circ}，$

 所以$\angle AED=\angle DCF，$

 所以$AE// CF.$

 解：（1）因为六边形$ABCDEF$的每个内角都相等，

 所以每个内角的度数为$\frac{(6 - 2)\times180^{\circ}}{6}=120^{\circ}.$

 所以$\angle E = 120^{\circ}.$

 （2）$AB// DE，$理由：由（1）知$\angle F=\angle FAB=\angle E = 120^{\circ}，$

 又因为$\angle DAB = 60^{\circ}，$

 所以$\angle DAF=\angle BAF-\angle BAD = 120^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}.$

 因为$\angle EDA = 360^{\circ}-\angle E-\angle F-\angle DAF = 60^{\circ}，$

 所以$\angle DAB=\angle ADE，$

 所以$AB// DE.$