解：（1）因为关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2(m + 1)x + m^{2}+5 = 0$有两个实数根，所以$\Delta=[-2(m + 1)]^{2}-4\times1\times(m^{2}+5)\geqslant0，$
$\begin{aligned}4(m^{2}+2m + 1)-4m^{2}-20&\geqslant0\\4m^{2}+8m + 4 - 4m^{2}-20&\geqslant0\\8m - 16&\geqslant0\\8m&\geqslant16\\m&\geqslant2\end{aligned}$
故$m$的取值范围为$m\geqslant2。$
（2）当$m = 3$时，原方程即为$x^{2}-8x + 14 = 0，$由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=8，$$x_{1}x_{2}=14，$所以$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=8^{2}-2\times14 = 36。$
因为$x_{1}，$$x_{2}$恰好是一个直角三角形的两条直角边长，所以该直角三角形的斜边长为$\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}=\sqrt{36}=6。$
（3）由一元二次方程的根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=2(m + 1)，$$x_{1}x_{2}=m^{2}+5。$又$x_{1}+x_{2}=\frac{2}{3}x_{1}x_{2}，$所以$2(m + 1)=\frac{2}{3}(m^{2}+5)，$
$\begin{aligned}3(m + 1)&=m^{2}+5\\3m + 3&=m^{2}+5\\m^{2}-3m + 2&=0\\(m - 1)(m - 2)&=0\end{aligned}$
解得$m_{1}=1，$$m_{2}=2。$因为$m\geqslant2，$所以$m$的值为$2。$
