解：（1）因为关于$x$的一元二次方程$x^{2}+(2k + 1)x + k^{2}+1 = 0$有两个不相等的实数根，所以$\Delta=(2k + 1)^{2}-4(k^{2}+1)＞0，$
$\begin{aligned}4k^{2}+4k + 1 - 4k^{2}-4&＞0\\4k - 3&＞0\\4k&＞3\\k&＞\frac{3}{4}\end{aligned}$
故$k$的取值范围为$k＞\frac{3}{4}。$
（2）由一元二次方程的根与系数的关系，得$x_{1}x_{2}=k^{2}+1。$又$x_{1}x_{2}=5，$所以$k^{2}+1 = 5，$
$\begin{aligned}k^{2}&=4\\k&=\pm2\end{aligned}$
因为$k＞\frac{3}{4}，$所以$k$的值为$2。$
