第45页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

$5$

$2\sqrt{2}$

$2\sqrt{3}$

B

$2$

 (1) 证明：因为$AB$为半圆的直径，所以$\angle AEB = 90^{\circ}，$所以$AE\perp BC.$因为$AB = AC，$所以$CE = BE.$因为$EF = AE，$所以四边形$ABFC$是平行四边形.又$AB = AC，$所以四边形$ABFC$是菱形.

 (2) 解：连接$BD.$由

 (1)，得$CE = BE = 2，$所以$BC = BE + CE = 4.$因为$AB$为半圆的直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}，$所以$BD\perp AC，$$\angle BDC = 180^{\circ}-\angle ADB = 90^{\circ}.$设$CD = x.$因为$AD = 7，$所以$AB = AC = AD + CD = 7 + x.$因为$BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}，$$BD^{2}+CD^{2}=BC^{2}，$所以$AB^{2}-AD^{2}=BC^{2}-CD^{2}，$即$(7 + x)^{2}-7^{2}=4^{2}-x^{2}，$解得$x_{1}=1，$$x_{2}=-8$（不合题意，舍去），所以$AB = AC = 8，$所以半圆的面积为$\frac{1}{2}\pi\times(8\div2)^{2}=8\pi.$因为$BD = \sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{15}，$所以$S_{菱形ABFC}=AC\cdot BD = 8\sqrt{15}.$故菱形$ABFC$的面积为$8\sqrt{15}.$

 (1) 证明：连接$AF.$因为$\angle FEB = 90^{\circ}，$所以$EF\perp AB.$因为$AE = EB，$所以$EF$垂直平分$AB，$所以$FB = AF，$$\angle FEA = 90^{\circ}，$所以$AF$为$\odot O$的直径，所以$AF = DE，$所以$FB = DE.$因为$DE$为$\odot O$的直径，所以$\angle EAD = 90^{\circ}.$在$Rt\triangle EFB$和$Rt\triangle ADE$中，$\begin{cases}FB = DE \\ EB = AE\end{cases}，$所以$Rt\triangle EFB\cong Rt\triangle ADE.$

 (2) 解：过点$A$作$AG\perp DE$于点$G，$过点$E$作$EH\perp BF$于点$H.$因为$Rt\triangle EFB\cong Rt\triangle ADE，$所以$EH = AG，$$\angle B = \angle AED，$所以$DE// BC.$因为$\angle EAD = \angle FEB = 90^{\circ}，$所以$EF// AC，$所以四边形$FCDE$是平行四边形，所以$CF = DE = 4，$$S_{四边形FCDE}=CF\cdot EH，$所以当四边形$FCDE$的面积最大时，$EH$的长最大，即$AG$的长最大.由题图可知，当$A$为$\overset{\frown}{DE}$的中点时，$AG$的长最大，且最大值为$\odot O$的半径，即为$\frac{1}{2}\times4 = 2，$所以四边形$FCDE$的最大面积为$4\times2 = 8.$