第53页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

B

135°

$2\sqrt{2}$

A

2

 解：因为$AB = AC，$$AD$是$\triangle ABC$的中线，$BC = 8，$所以$BD = CD=\frac{1}{2}BC = 4，$$\angle BAD = \angle CAD，$$AD\perp BC，$所以$\angle ADB = 90^{\circ}$且$P，$$Q$两点都在直线$AD$上，所以$\triangle ABC$的内切圆$\odot Q$与$BC$相切于点$D。$因为$AD = 3，$所以$AC = AB=\sqrt{AD^{2}+BD^{2}} = 5。$如图，连接$PA，$$PB，$设$PA = PB = R，$$QD = r，$则$PD = PA - AD = R - 3。$因为$\angle PDB = 180^{\circ}-\angle ADB = 90^{\circ}，$所以$PD^{2}+BD^{2}=PB^{2}，$即$(R - 3)^{2}+4^{2}=R^{2}，$解得$R=\frac{25}{6}，$所以$PD=\frac{7}{6}。$因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}(AB + AC + BC)\cdot r，$所以$\frac{1}{2}\times8\times3=\frac{1}{2}\times(5 + 5 + 8)\times r，$解得$r=\frac{4}{3}，$所以$QD=\frac{4}{3}，$所以$PQ = PD + QD=\frac{5}{2}。$故点$P$与点$Q$之间的距离为$\frac{5}{2}。$

 (1) 证明：过点$D$作$DN\perp AB$于点$N。$因为$DE\perp BC，$$DF\perp AC，$所以$\angle DEC = \angle DFC = 90^{\circ}。$又$\angle C = 90^{\circ}，$所以四边形$CFDE$是矩形。因为$AD$平分$\angle BAC，$所以$DF = DN。$因为$BD$平分$\angle ABC，$所以$DE = DN，$所以$DF = DE，$所以四边形$CFDE$是正方形。

 (2) 解：因为$\angle C = 90^{\circ}，$$AC = 3，$$BC = 4，$所以$AB = \sqrt{AC^{2}+BC^{2}} = 5。$设$\triangle ABC$的内切圆的半径为$r，$则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}(AC + BC + AB)\cdot r，$即$\frac{1}{2}\times3\times4=\frac{1}{2}\times(3 + 4 + 5)\times r，$解得$r = 1。$故$\triangle ABC$的内切圆的半径为$1。$