第57页 - 亮点给力提优课时作业本九年级数学江苏版

$\sqrt{5}-1\leqslant AF\leqslant2$

$5\sqrt{10}$

$10\sqrt{2}$

解: 图④为用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，其中$H$为$CD$的中点.因为$HG$垂直平分$NF，$所以点$O$在$HG$上，所以$\angle OGN = 90^{\circ}.$连接$OB，$$ON，$延长$GH$交$AB$于点$P，$则$PG\perp AB，$所以$\angle BPO = 90^{\circ}，$$BP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times5=\frac{5}{2}$（$cm$）.设$OG = x\ cm.$因为$PG = 5\times2 = 10$（$cm$），所以$OP = PG - OG=(10 - x)\ cm.$因为$OP^{2}+BP^{2}=OB^{2}，$$OG^{2}+NG^{2}=ON^{2}，$且$OB = ON，$所以$OP^{2}+BP^{2}=OG^{2}+NG^{2}.$因为$NG = 5\ cm，$所以$(10 - x)^{2}+(\frac{5}{2})^{2}=x^{2}+5^{2}，$解得$x=\frac{65}{16}，$所以$OG=\frac{65}{16}\ cm，$所以$ON=\sqrt{OG^{2}+NG^{2}}=\frac{25\sqrt{17}}{16}\ cm，$所以此时圆形硬纸板的直径是$\frac{25\sqrt{17}}{16}\times2=\frac{25\sqrt{17}}{8}$（$cm$）.

 （1）证明：如图①，延长$BP$至点$E，$使$PE = PC，$连接$EC.$因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$\angle ACB=\angle BAC = 60^{\circ}，$$AC = BC.$因为四边形$ABPC$内接于$\odot O，$所以$\angle BAC+\angle BPC = 180^{\circ}.$因为$\angle BPC+\angle CPE = 180^{\circ}，$所以$\angle CPE=\angle BAC = 60^{\circ}，$所以$\triangle PCE$是等边三角形，所以$EC = PC，$$\angle PCE = 60^{\circ}.$因为$\angle BCE=\angle BCP+\angle PCE，$$\angle ACP=\angle BCP+\angle ACB，$所以$\angle BCE=\angle ACP.$在$\triangle BEC$和$\triangle APC$中，$\begin{cases}EC = PC\\\angle BCE=\angle ACP\\BC = AC\end{cases}，$所以$\triangle BEC\cong\triangle APC，$所以$EB = PA.$因为$EB = PB + PE = PB + PC，$所以$PA = PB + PC.$

 （2）证明：如图②，连接$OA，$$OB，$过点$B$作$BE\perp PB$交$PA$于点$E，$则$\angle PBE = 90^{\circ}.$因为四边形$ABCD$是正方形，所以$BA = BC，$$\angle ABC = 90^{\circ}，$所以$\angle ABE+\angle CBE = 90^{\circ}.$又$\angle CBP+\angle CBE=\angle PBE = 90^{\circ}，$所以$\angle ABE=\angle CBP.$因为$\angle AOB=\frac{1}{4}\times360^{\circ}=90^{\circ}，$所以$\angle APB=\frac{1}{2}\angle AOB = 45^{\circ}，$所以$\angle BEP = 90^{\circ}-\angle APB = 45^{\circ}，$所以$\angle APB=\angle BEP，$所以$EB = PB，$所以$PE=\sqrt{EB^{2}+PB^{2}}=\sqrt{2}PB.$在$\triangle ABE$和$\triangle CBP$中，$\begin{cases}EB = PB\\\angle ABE=\angle CBP\\BA = BC\end{cases}，$所以$\triangle ABE\cong\triangle CBP，$所以$EA = PC，$所以$PA = EA + PE = PC+\sqrt{2}PB.$