解：连接$OA，$$OC，$$OD.$因为正三角形$ABC$内接于$\odot O，$所以$\angle AOC=\frac{1}{3}\times360^{\circ}=120^{\circ}.$因为$AD$是$\odot O$的内接正十二边形的一边，所以$\angle AOD=\frac{1}{12}\times360^{\circ}=30^{\circ}，$所以$\angle COD=\angle AOC - \angle AOD=90^{\circ}.$设$\odot O$的半径为$r，$则$OC = OD = r，$所以$CD=\sqrt{OC^{2}+OD^{2}}=\sqrt{2}r.$因为$CD = 6\sqrt{2}，$所以$\sqrt{2}r = 6\sqrt{2}，$解得$r = 6.$故$\odot O$的半径为$6.$
