解: （1）设$\odot O$的半径为$R，$则$OA = OE = R.$因为$DE$垂直平分$OA，$$DE = 4\sqrt{3}，$所以$CE=\frac{1}{2}DE = 2\sqrt{3}，$$\angle OCE = 90^{\circ}，$$OC=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}R，$所以$CE=\sqrt{OE^{2}-OC^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}R，$所以$\frac{\sqrt{3}}{2}R = 2\sqrt{3}，$解得$R = 4.$故$\odot O$的半径为$4.$
（2）因为$\angle OCE = 90^{\circ}，$$\angle DPA = 45^{\circ}，$所以$\angle D=\angle OCE-\angle DPA = 45^{\circ}，$所以$\angle EOF = 2\angle D = 90^{\circ}.$设该圆锥的底面圆半径为$r.$由题意，得$\pi\times r\times4=\frac{90\pi\times4^{2}}{360}，$解得$r = 1.$故该圆锥的底面圆半径为$1.$
