解：
(1)
$ 因为数据x_1,x_2,\cdots,x_6的平均数为1，根据平均数公式\overline{x}=\frac{x_1 + x_2+\cdots+x_n}{n}，可得x_1 + x_2+\cdots+x_6=1\times6 = 6。$
$ 又这组数据的方差为\frac{5}{3}，根据方差公式s^{2}=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^{2}+(x_2-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_n-\overline{x})^{2}]，可得(x_1 - 1)^{2}+(x_2 - 1)^{2}+\cdots+(x_6 - 1)^{2}=\frac{5}{3}\times6 = 10。$
$ 将(x_1 - 1)^{2}+(x_2 - 1)^{2}+\cdots+(x_6 - 1)^{2}=10展开：$
$ \begin{aligned} x_1^{2}-2x_1 + 1+x_2^{2}-2x_2 + 1+\cdots+x_6^{2}-2x_6 + 1&=10 \\ x_1^{2}+x_2^{2}+\cdots+x_6^{2}-2(x_1 + x_2+\cdots+x_6)+6&=10 \\ \end{aligned}$
$ 把x_1 + x_2+\cdots+x_6 = 6代入上式得：x_1^{2}+x_2^{2}+\cdots+x_6^{2}-2\times6+6 = 10，即x_1^{2}+x_2^{2}+\cdots+x_6^{2}-12 + 6=10，所以x_1^{2}+x_2^{2}+\cdots+x_6^{2}=16。$
(2)
$ 因为数据x_1,x_2,\cdots,x_7的平均数为1，所以x_1 + x_2+\cdots+x_7=1\times7 = 7，又x_1 + x_2+\cdots+x_6 = 6，则6+x_7=7，所以x_7 = 1。$
这$7$个数据的方差为：
$ \begin{aligned} s^{2}&=\frac{1}{7}[(x_1 - 1)^{2}+(x_2 - 1)^{2}+\cdots+(x_6 - 1)^{2}+(x_7 - 1)^{2}] \\ &=\frac{1}{7}[10+(1 - 1)^{2}] \\ &=\frac{10}{7} \\ \end{aligned}$
