(2) 解：因为$\triangle ABC$是边长为$1$的等边三角形，所以点$B，$$C$在以点$A$为圆心，$1$为半径的$\odot A$上. 因为$BC$是$\odot O$的以点$A$为中心的“关联线段”，所以点$B，$$C$绕点$A$旋转后的对应点$B'，$$C'$是$\odot A$和$\odot O$的交点. 如图①，不妨设点$A$在$x$轴上方，点$B'$在点$C'$左侧，$OA$与$B'C'$的交点为$D，$连接$OB'，$$OC'，$$AB'，$$AC'，$则$OB' = OC' = AB' = AC' = 1，$所以四边形$AB'OC'$是菱形，所以$AD=\frac{1}{2}OA，$$OA\perp B'C'，$所以$\angle ADB' = 90^{\circ}.$ 因为$\angle AB'C' = 60^{\circ}，$所以$\angle B'AD = 90^{\circ}-\angle AB'C' = 30^{\circ}，$所以$B'D=\frac{1}{2}AB'=\frac{1}{2}，$所以$AD = \sqrt{AB'^{2}-B'D^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}，$所以$OA = 2AD=\sqrt{3}，$所以$A(0,\sqrt{3})；$当点$A$在$x$轴下方时，同理可得$A(0,-\sqrt{3}).$ 综上所述，$t$的值为$\pm\sqrt{3}.$
(3) 解：如图②，由题意，得$AB' = AB = 1，$$AC' = AC = 2，$$OB' = OC' = 1.$ 如图③，当$A，$$O，$$C'$三点共线时，$OA$的长取最小值，此时$OA = AC'-OC' = 1，$则$OA = OB' = OC'.$ 因为点$B'，$$C'$在$\odot O$上，所以$AC'$为$\odot O$的直径，所以$\angle AB'C' = 90^{\circ}，$所以$BC = B'C'=\sqrt{AC'^{2}-AB'^{2}}=\sqrt{3}；$如图④，当$A，$$O，$$B'$三点共线时，$OA$的长取最大值，此时$OA = AB'+OB' = 2，$所以$OA = AC'.$ 过点$A$作$AE\perp OC'$于点$E，$过点$C'$作$C'F\perp OA$于点$F，$则$\angle OEA=\angle OFC'=\angle B'FC' = 90^{\circ}，$$OE=\frac{1}{2}OC'=\frac{1}{2}，$所以$AE = \sqrt{OA^{2}-OE^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{2}.$ 因为$S_{\triangle AOC'}=\frac{1}{2}OA\cdot C'F=\frac{1}{2}OC'\cdot AE，$所以$C'F=\frac{OC'\cdot AE}{OA}=\frac{\sqrt{15}}{4}，$所以$OF = \sqrt{OC'^{2}-C'F^{2}}=\frac{1}{4}，$所以$B'F = OB'-OF=\frac{3}{4}，$所以$BC = B'C'=\sqrt{B'F^{2}+C'F^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$ 综上所述，$OA$长的最小值为$1，$相应的$BC$长为$\sqrt{3}；$$OA$长的最大值为$2，$相应的$BC$长为$\frac{\sqrt{6}}{2}.$
