解:
（1）把$(1,2)$代入$y=(x - a)^2 + a - 1，$得$2=(1 - a)^2 + a - 1，$
展开式子：$2 = 1 - 2a + a^2 + a - 1，$
整理得：$a^2 - a - 2 = 0，$
因式分解得：$(a - 2)(a + 1)=0，$
解得$a = 2$或$a = -1。$
所以该二次函数的解析式为$y=(x - 2)^2 + 1$或$y=(x + 1)^2 - 2。$
（2）抛物线$y=(x - a)^2 + a - 1$的开口向上，对称轴是直线$x = a。$
若$a\lt1，$则当$x = 1$时，$y$取最小值$2，$所以$(1 - a)^2 + a - 1 = 2，$
展开式子：$1 - 2a + a^2 + a - 1 = 2，$
整理得：$a^2 - a - 2 = 0，$
因式分解得：$(a - 2)(a + 1)=0，$
解得$a = 2$（舍去）或$a = -1。$
若$1\leqslant a\leqslant4，$则当$x = a$时，$y$取最小值$2，$所以$a - 1 = 2，$解得$a = 3。$
若$a\gt4，$则当$x = 4$时，$y$取最小值$2，$所以$(4 - a)^2 + a - 1 = 2，$
展开式子：$16 - 8a + a^2 + a - 1 = 2，$
整理得：$a^2 - 7a + 13 = 0，$
$\Delta=(-7)^2 - 4\times13 = 49 - 52 = -3\lt0，$方程无实数解。
综上所述，$a$的值为$-1$或$3。$
