解：（1）如图①，延长$BP$至点$E，$使$PE = PC，$连接$CE。$
因为$\triangle ABC$是正三角形，所以$\angle BAC=\angle ACB = 60^{\circ}，$$BC = AC。$
因为$A，$$B，$$P，$$C$四点共圆，所以$\angle BAC+\angle BPC = 180^{\circ}。$
因为$\angle BPC+\angle EPC = 180^{\circ}，$所以$\angle BAC=\angle EPC = 60^{\circ}。$
因为$PE = PC，$所以$\triangle PCE$是正三角形，所以$PE = EC = PC，$$\angle PCE = 60^{\circ}。$
又因为$\angle BCE = 60^{\circ}+\angle BCP，$$\angle ACP = 60^{\circ}+\angle BCP，$所以$\angle BCE=\angle ACP。$
在$\triangle BEC$和$\triangle APC$中，$\begin{cases}EC = PC\\\angle BCE=\angle ACP\\BC = AC\end{cases}，$所以$\triangle BEC\cong\triangle APC(SAS)，$所以$EB = PA = PB + PE = PB + PC。$
（2）如图②，过点$B$作$BE\perp PB$交$PA$于点$E，$连接$OA，$$OB。$
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$\angle AOB=\angle ABC = 90^{\circ}，$$AB = CB。$
因为$BE\perp PB，$所以$\angle EBP = 90^{\circ}，$所以$\angle 1+\angle EBC=\angle EBC+\angle 2 = 90^{\circ}，$所以$\angle 1=\angle 2。$
因为$\angle APB=\frac{1}{2}\angle AOB = 45^{\circ}，$所以$BE = BP，$$PE=\sqrt{2}PB。$
在$\triangle ABE$和$\triangle CBP$中，$\begin{cases}BE = BP\\\angle 1=\angle 2\\AB = CB\end{cases}，$所以$\triangle ABE\cong\triangle CBP(SAS)，$所以$EA = PC，$所以$PA = EA + PE = PC+\sqrt{2}PB。$
