解：（1）因为五边形$ABCDE$是正五边形，根据多边形内角和公式$(n - 2)\times180^{\circ}$（$n$为边数），则$\angle ABC=\frac{(5 - 2)\times180^{\circ}}{5}=108^{\circ}。$
（2）$\triangle AMN$是正三角形。理由：连接$ON，$$NF。$由题意，易得$FN = OF = ON，$所以$\triangle FON$是正三角形，所以$\angle NFA = 60^{\circ}，$根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，所以$\angle NMA = 60^{\circ}。$同理，可得$\angle ANM = 60^{\circ}，$所以$\angle MAN = 60^{\circ}，$所以$\triangle AMN$是正三角形。
（3）连接$OD。$因为$\angle AMN = 60^{\circ}，$所以$\angle AON = 2\angle AMN = 120^{\circ}。$因为正五边形$ABCDE$内接于$\odot O，$所以$\angle AOD=\frac{360^{\circ}}{5}\times2 = 144^{\circ}，$所以$\angle NOD=\angle AOD - \angle AON = 144^{\circ}-120^{\circ}=24^{\circ}。$因为$360^{\circ}\div24^{\circ}=15，$所以$n$的值是$15。$
