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第2页

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$k\neq1$

$x_1 = 0,x_2 = 4$

$5$

$-15$

$a＞9$

$1$

$-1$

$x = - 2$

$1$

$\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$

解：$(1)$

$\begin{aligned}(x - 4)(2x + 1)&=x - 4\\(x - 4)(2x + 1)-(x - 4)&=0\\(x - 4)(2x + 1 - 1)&=0\\2x(x - 4)&=0\end{aligned}$

则$2x=0$或$x - 4=0，$解得$x_1 = 0,x_2 = 4。$

解：(2)将方程$3y^{2}-2 = 4y$化为一般形式

为$3y^{2}-4y - 2 = 0，$

其中$a = 3，$$b=-4，$$c = - 2。$

根据求根公式$y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，$可得：

$\begin{aligned}y&=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4×3×(-2)}}{2×3}\\&=\frac{4\pm\sqrt{16 + 24}}{6}\\&=\frac{4\pm\sqrt{40}}{6}\\&=\frac{4\pm2\sqrt{10}}{6}\\&=\frac{2\pm\sqrt{10}}{3}\end{aligned}$

所以$y_1=\frac{2+\sqrt{10}}{3}，$$y_2=\frac{2-\sqrt{10}}{3}。$

证明：(1)在方程$x^{2}-(2m - 1)x-3m^{2}+m = 0$中，

$∆=[-(2m - 1)]^{2}-4(-3m^{2}+m)$

$=4m^{2}-4m + 1+12m^{2}-4m$

$=16m^{2}-8m + 1$

$=(4m - 1)^{2}\geq0$

所以无论$m$为何值，方程总有实数根。

(2)解：根据韦达定理，得$x_1 + x_2 = 2m - 1，$$x_1x_2=-3m^{2}+m。$

因为$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_1^{2}+x_2^{2}}{x_1x_2}=\frac{(x_1 + x_2)^{2}-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(x_1 + x_2)^{2}}{x_1x_2}-2=-\frac{5}{2}，$

所以$\frac{(2m - 1)^{2}}{-3m^{2}+m}-2=-\frac{5}{2}。$

整理得：

$\begin{aligned}\frac{(2m - 1)^{2}}{-3m^{2}+m}&=2-\frac{5}{2}\\\frac{(2m - 1)^{2}}{-3m^{2}+m}&=-\frac{1}{2}\\-2(2m - 1)^{2}&=-3m^{2}+m\\-2(4m^{2}-4m + 1)&=-3m^{2}+m\\-8m^{2}+8m - 2&=-3m^{2}+m\\-8m^{2}+3m^{2}+8m - m - 2&=0\\-5m^{2}+7m - 2&=0\\5m^{2}-7m + 2&=0\\(5m - 2)(m - 1)&=0\end{aligned}$

解得$m_1 = 1，$$m_2=\frac{2}{5}。$

所以$m$的值为$1$或$\frac{2}{5}。$