解：$(1)$不存在。
理由：
当点$P$在$BC$上，即$0\leq t\leq2$时，$AQ = t\ cm，$$BQ=(4 - t)\ cm，$$BP = 2t\ cm，$
$PC=(4 - 2t)\ cm。$
因为$S_{正方形ABCD}-S_{\triangle ADQ}-S_{\triangle BPQ}-S_{\triangle CPD}=S_{\triangle PQD}，$
所以$4^{2}-\frac{1}{2}×4t-\frac{1}{2}×(4 - t)×2t-\frac{1}{2}×4×(4 - 2t)=11，$
$\begin{aligned}16-2t-(4t - t^{2})-(8 - 4t)&=11\\16-2t-4t + t^{2}-8 + 4t&=11\\t^{2}-2t + 8 - 11&=0\\t^{2}-2t - 3&=0\\(t - 3)(t + 1)&=0\end{aligned}$
解得$t_1=-1，$$t_2 = 3，$均不合题意，舍去。
当点$P$在$CD$上，即$2<t\leq4$时，$AQ = t\ cm，$$DP=(8 - 2t)\ cm。$
因为$S_{\triangle PQD}=\frac{1}{2}BC·DP，$所以$\frac{1}{2}×4×(8 - 2t)=11，$
$\begin{aligned}2×(8 - 2t)&=11\\16-4t&=11\\-4t&=11 - 16\\-4t&=-5\\t&=\frac{5}{4}\end{aligned}$
（不合题意，舍去）。
所以不存在$t$的值，使$\triangle PQD$的面积为$11\ cm^{2}。$
$ (2)$存在。
由题意，得$AQ = t\ cm，$$BQ=(4 - t)\ cm，$$BP = 2t\ cm，$$PC=(4 - 2t)\ cm。$
当$PD = QD$时，由题意，得$∠C=∠A = 90°，$$DC = DA，$
所以$Rt\triangle DPC\cong Rt\triangle DQA，$
所以$PC = QA，$即$4 - 2t = t，$解得$t=\frac{4}{3}。$
当$PD = PQ$时，在$Rt\triangle PBQ$中，$PQ^{2}=PB^{2}+BQ^{2}，$
在$Rt\triangle PCD$中，$PD^{2}=PC^{2}+CD^{2}，$
所以$(2t)^{2}+(4 - t)^{2}=(4 - 2t)^{2}+4^{2}，$
$\begin{aligned}4t^{2}+16-8t + t^{2}&=16-16t + 4t^{2}+16\\4t^{2}+t^{2}-4t^{2}+16t - 8t&=16\\t^{2}+8t - 16&=0\end{aligned}$
解得$t_1=-4\sqrt{2}-4$（不合题意，舍去），$t_2 = 4\sqrt{2}-4。$
所以存在$t$的值，使$\triangle PQD$是以$PD$为一腰的等腰三角形，$t$的值为$\frac{4}{3}$或$4\sqrt{2}-4。$
