解：$(1)$∵$A、$$B$两点的坐标分别为$(5，$$0)、$$(3，$$0)$
∴$OA=5，$$OB=3$
∵在$Rt△COB$中，$∠CBO=45°$
∴$∠OCB=180°-90°-45°=45°=∠CBO$
∴$OC=OB=3$
∴点$C$的坐标为$(0，$$3)$
$(2)①$当点$P $在点$B$的左侧时，
∵$∠OCB=45°，$$∠BCP=15°$
∴$∠OCP=∠OCB-∠BCP=45°-15°=30°$
∴在$Rt△POC$中，$OP=\frac 1 2CP$
∵$CO=3$
∴${OP}^2+3^2={(2OP)}^2$
解得，$OP=\sqrt {3}$
∵点$Q $的坐标为$(-4，$$0)$
∴$OQ=4$
∴$OP=\sqrt {3}+4$
∵点$P_{沿}x$轴向右以每秒$2$个单位长度的速度运动
∴$t=\frac {\sqrt {3}+4}2$
$②$当点$P $在点$B$的右侧时，
∵$∠OCB=45°，$$∠BCP=15°$
∴$∠OCP=∠OCB+∠BCP=45°+15°=60°$
∴在$Rt△POC$中，$∠CPO=180°-90°-60°=30°$
∴$CO=\frac 1 2CP$
∵$CO=3$
∴$CP=2CO=6$
∴$OP=\sqrt {6^2-3^2}=3\sqrt {3}$
∵点$Q $的坐标为$(-4，$$0)$
∴$OQ=4$
∴$QP=3\sqrt {3}+4$
∵点$P_{沿}x$轴向右以每秒$2$个单位长度的速度运动
∴$t=\frac {3\sqrt {3}+4}2$
综上所述，当$∠BCP=15°$时，$t $的值为$\frac {\sqrt {3}+4}2$或$\frac {3\sqrt {3}+4}2$
