解：$(1)$∵$ $在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°，$$AC=BC，$$AB=10\ \mathrm {cm}，$
∴$ $易得$AC=BC=5 \sqrt{2}\ \mathrm {cm}，$$∠A=45°. $
∵$ DE//BC，$$DF//AC，$
∴$ $四边形$DFCE$为平行四边形$ $
∵$ ∠ACB=90°，$
∴$ $四边形$DFCE$为矩形，
∴$ ∠DEC=∠DEA=90°$
∵$ ∠A=45°，$
∴$ △ADE$是等腰直角三角形$.$
由题意，得$AD=2\ \mathrm {t}\ \mathrm {cm} ，$
则易得$AE=DE= \sqrt{2}\ \mathrm {t}\ \mathrm {cm} ，$$EC=(5 \sqrt{2}-\sqrt{2}\ \mathrm {t})\ \mathrm {cm}. $
∴$ \sqrt{2}\ \mathrm {t}×(5 \sqrt{2}-\sqrt{2}t)=12.$
整理，得$t²-5t+6=0，$
解得$t_{1}=2，$$t_{2}=3. $
∴$ $当$t $的值为$2$或$3$时，四边形$DFCE$的面积为$12\ \mathrm {cm}² $
$(2)①$存在$ $∵点$B$在$OD$上，
∴$DB=DE.$
当点$D$在点$B$的左边时，由$\sqrt {2}t=10-2t，$
解得$t=10-5\sqrt {2}；$
当点$D$在点$B$的右边时，由$\sqrt {2}t=2t-10，$
解得$t=10+5\sqrt {2}.$
综上所述，当$t $的值为$10-5+\sqrt {2} $或$10+5\sqrt {2}$时，$⊙D$正好经过点$B.$
