解：$(1)$因为$CD$为圆的直径，
所以$∠CAD = 90°。$
因为$∠AFE=∠ADC，$$∠AFE = 60°，$
所以$∠ADC = 60°。$
因为$\triangle ADC$的内角和为$180°，$
所以$∠ACD = 180°-90°-60°=30°。$
因为$\overset {\frown }{AD}=\overset {\frown }{AD}，$
所以$∠ABD=∠ACD = 30°。$
证明：$(2)①$因为四边形$ABCD$是圆内接四边形，
所以$∠ABC+∠ADC = 180°。$
因为$∠AFE=∠ADC，$
所以$∠ABC+∠AFE = 180°，$所以$EF// BC。$
②证明：如图，过点$D$作$DG// BC，$交圆于点$G，$连接$AG、$$CG。$
因为$DG// BC，$
所以$∠BCD=∠GDC，$
所以$\overset {\frown }{BD}=\overset {\frown }{CG}，$
所以$BD = CG。$
因为四边形$ACGD$是圆内接四边形，
所以$∠ACG+∠ADG = 180°。$
因为$∠EDG+∠ADG = 180°，$
所以$∠EDG=∠ACG。$
因为$EF// BC，$$DG// BC，$
所以$EF// DG，$
所以$∠AEF=∠EDG，$
所以$∠AEF=∠ACG。$
因为$\overset {\frown }{AC}=\overset {\frown }{AC}，$
所以$∠ADC=∠AGC。$
因为$∠AFE=∠ADC，$
所以$∠AFE=∠AGC。$
在$\triangle AEF $和$\triangle ACG_{中}，$$\begin {cases}∠AFE=∠AGC\\∠AEF=∠ACG\\AE = AC\end {cases}，$
所以$\triangle AEF\cong \triangle ACG(\mathrm {AAS})，$
所以$EF = CG，$
所以$EF = BD。$
