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证明​$:(1)$​因为四边形​$ABCD$​是正方形,
所以​$AB = BC = AD = 2,$​​$∠ABC = 90°。$​
因为​$\triangle BEC$​绕点​$B$​按逆时针方向旋转​$90°$​得到​$\triangle BFA,$​
所以​$\triangle BFA\cong \triangle BEC,$​
所以​$∠FAB=∠ECB,$​​$∠ABF=∠CBE = 90°,$​​$AF = CE,$​
所以​$∠AFB+∠FAB = 90°。$​
因为线段​$AF_{绕点}F $​按顺时针方向旋转​$90°$​得到线段​$GF,$​
所以​$∠AFB+∠CFG=∠AFG = 90°,$​​$AF = GF,$​
所以​$∠CFG=∠FAB=∠ECB,$​
所以​$EC// GF。$​
因为​$AF = CE,$​​$AF = GF,$​
所以​$CE = GF,$​
所以四边形​$EFGC$​是平行四边形,
所以​$EF// CG。$​
​$(2)$​因为​$E$​是​$AB$​的中点,
所以​$EB=\frac {1}{2}AB = 1。$​
因为​$\triangle BFA\cong \triangle BEC,$​
所以​$FB = EB = 1,$​
所以​$AF=\sqrt {AB^2+FB^2}=\sqrt {5}。$​
因为​$CF $​是​$\square EFGC$​的对角线,
所以​$S_{\triangle FEC}=S_{\triangle CGF},$​
所以​$S_{阴影}=S_{扇形BAC}+S_{\triangle ABF}+S_{\triangle CGF}-S_{扇形FAG}$​
​$=S_{扇形BAC}+S_{\triangle ABF}+S_{\triangle FEC}-S_{扇形FAG}$​
​$=\frac {90\pi ×2^2}{360}+\frac {1}{2}×2×1+\frac {1}{2}×(1 + 2)×1-\frac {90\pi ×(\sqrt {5})^2}{360}$​
​$=\frac {5}{2}-\frac {\pi }{4}。$​