第30页 - 通城学典课时作业本九年级数学苏科版江苏专版

证明$：(1)$如图，连接$OA。$

因为$BE$是$\odot O$的直径，

所以$∠BAE = 90°，$

所以$∠BAO+∠OAE = 90°。$

因为$OA = OB，$

所以$∠ABC=∠BAO。$

因为$∠EAC=∠ABC，$

所以$∠EAC=∠BAO，$

所以$∠EAC+∠OAE = 90°，$即$∠OAC = 90°，$

所以$OA\perp AC。$

因为$OA$是$\odot O$的半径，

所以$CA$是$\odot O$的切线。

$(2)$如图，连接$BD。$设$\odot O$的半径为$r，$

则$OA = OE = r。$

因为$∠OAC = 90°，$

所以$OA^2+AC^2=OC^2。$

因为$AC = 8，$$CE = 4，$

所以$r^2+8^2=(4 + r)^2，$

展开得$r^2+64 = 16 + 8r + r^2，$

移项得$8r = 48，$

解得$r = 6，$

所以$BE = 2r = 12。$

因为$AD$平分$∠BAE，$

所以$∠BAD=∠EAD，$

所以$\overset {\frown }{BD}=\overset {\frown }{DE}，$

所以$BD = DE。$

因为$BE$是$\odot O$的直径，

所以$∠BDE = 90°，$

所以$BD^2+DE^2=BE^2，$

即$DE^2+DE^2=12^2，$

$2DE^2=144，$

$DE^2=72，$

解得$DE = 6\sqrt {2}。$

解:(1)设每千克核桃应降价$x$元。

根据题意，得$(60 - x - 40)(100+\frac{x}{2}×20)=2240，$

化简得$(20 - x)(100 + 10x)=2240，$

展开得$2000+200x-100x-10x^{2}=2240，$

即$-10x^{2}+100x - 240 = 0，$

两边同时除以$-10$得$x^{2}-10x + 24 = 0，$

因式分解得$(x - 4)(x - 6)=0，$

则$x - 4 = 0$或$x - 6 = 0，$

解得$x_1 = 4，$$x_2 = 6。$

答：每千克核桃应降价$4$元或$6$元。

$(2)$由$(1)，$可知每千克核桃可降价$4$元或$6$元。

因为要尽可能让利于顾客，

所以每千克核桃应降价$6$元。

此时每千克的售价为$60 - 6 = 54$（元），$\frac{54}{60}×100\% = 90\%。$

答：该专卖店应按原售价的$9$折出售核桃。