解：$(2)$计算甲的方差：
$\begin{aligned}s_甲^{2}&=\frac{1}{6}×[(7 - 8)^{2}×2+(9 - 8)^{2}×2+(10 - 8)^{2}+(6 - 8)^{2}]\\&=\frac{1}{6}×[(-1)^{2}×2 + 1^{2}×2+2^{2}+(-2)^{2}]\\&=\frac{1}{6}×(2 + 2 + 4 + 4)\\&=\frac{1}{6}×12\\&= 2(\text环^{2})\end{aligned}$
计算乙的方差：
$\begin{aligned}s_乙^{2}&=\frac{1}{6}×[(5 - 8)^{2}+(8 - 8)^{2}+(9 - 8)^{2}+(10 - 8)^{2}×2+(6 - 8)^{2}]\\&=\frac{1}{6}×[(-3)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2}×2+(-2)^{2}]\\&=\frac{1}{6}×(9 + 0+1 + 8 + 4)\\&=\frac{1}{6}×22\\&=\frac{11}{3}(\text环^{2})\end{aligned}$
$ (3)$推荐甲参加全省比赛更合适。
理由：因为两人成绩的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲的成绩比乙
更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适。
