$解:(1)如图①，直线l_{1},l_{2}即为所求作的图形$
$在 y=x+2\sqrt{2}中,令x=0,得y=2 \sqrt{2}$
$所以B(0,2\sqrt{2}),所以OB=2 \sqrt{2};$
$令y=0,得x+2 \sqrt{2}=0,解得x=−2\sqrt{2}$
$所以A(−2 \sqrt{2},0),所以OA=2\sqrt {2},所以OA=OB$
$所以△ABO是等腰直角三角形$
$过点B作BC⊥l_{1}于点C,则BC=1$
$易知△BCD是等腰直角三角形，且CD=BC=1,所以BD=\sqrt {2}$
$所以点D的坐标是(0, \sqrt{2})$
$同理，点E的坐标是(0,\sqrt{2})$
$故该图形与y轴交点的坐标是(0,3\sqrt{2})和(0,\sqrt{2}).$
$(2)如图①,因为∠AOB=90,OA=OB=2\sqrt{2}$
$所以AB= \sqrt{OA²+OB²}=4$
$过点O作OF⊥AB于点F,则AF=BF,所以OF=\frac{1}{2}AB=2$
$当0＜r＜2−1,即0＜r＜1时,⊙O上到直线y=x+2 \sqrt{2}的距离为1的点有0个;$
$当r=1时,⊙O上到直线y=x+2\sqrt{2}的距离为1的点有1个;$
$当1＜r＜2+1,即1＜r＜3时,⊙O上到直线y=x+2\sqrt{2}的距离为1的点有2个;$
$当r=3时,⊙O上到直线y=x+2 \sqrt{2}的距离 为1的点有 3个;$
$当 r＞3时,⊙O上到直线y=x+2 \sqrt{2}的距离为1的点有4个.$
