解：（1）连接$OD。$因为直线$CD$与$\odot O$相切，所以$OD\perp CD，$所以$\angle ODC = 90^{\circ}。$
因为四边形$ABCD$为平行四边形，所以$AB// CD，$所以$\angle AOD=\angle ODC = 90^{\circ}。$
因为$OA = OD，$所以$\angle A=\angle ODA=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOD)=45^{\circ}。$
（2）如图①，连接$OD，$过点$D$作$DM\perp OA$于点$M，$过点$O$作$ON\perp CD$于点$N，$则$\angle OMD=\angle AMD=\angle OND = 90^{\circ}，$$DN=\frac{1}{2}DH。$
设$OM = x。$因为$\odot O$的半径为5，所以$OA = OD = 5，$所以$AM = OA - OM = 5 - x。$
因为$AM^{2}+DM^{2}=AD^{2}，$$OM^{2}+DM^{2}=OD^{2}，$所以$AD^{2}-AM^{2}=OD^{2}-OM^{2}。$
因为$AD = 6，$所以$6^{2}-(5 - x)^{2}=5^{2}-x^{2}，$
$36-(25 - 10x + x^{2})=25 - x^{2}，$
$36 - 25 + 10x - x^{2}=25 - x^{2}，$
$10x = 25 + 25 - 36，$
$10x = 14，$
解得$x = 1.4，$即$OM = 1.4。$
因为四边形$ABCD$为平行四边形，所以$CD = AB = 2OA = 10，$$AB// CD，$所以$\angle CDM=\angle AMD = 90^{\circ}，$所以四边形$OMDN$为矩形，所以$DN = OM = 1.4，$所以$DH = 2DN = 2.8，$所以$CH = CD - DH = 7.2。$
（3）分类讨论如下：
①如图②，当点$D$在点$E$左侧时，连接$OD，$过点$O$作$OF\perp CD$于点$F，$过点$D$作$DG\perp AB$于点$G，$则$\angle AGD=\angle OGD = 90^{\circ}，$$DF=\frac{1}{2}DE，$四边形$OFDG$为矩形，所以$OG = DF。$
因为$DE = 6，$所以$OG = DF = 3。$因为$OA = OD = 5，$所以$AG = OA - OG = 2，$$DG=\sqrt{OD^{2}-OG^{2}} = 4，$所以$AD=\sqrt{AG^{2}+DG^{2}} = 2\sqrt{5}；$
②如图③，当点$D$在点$E$右侧时，连接$OD，$过点$O$作$OQ\perp CE$于点$Q，$过点$D$作$DP\perp AB$于点$P，$则$DQ=\frac{1}{2}DE = 3，$$\angle APD = 90^{\circ}，$四边形$DPOQ$为矩形，所以$OP = DQ = 3，$所以$AP = OA + OP = 8，$$PD=\sqrt{OD^{2}-OP^{2}} = 4，$所以$AD=\sqrt{AP^{2}+PD^{2}} = 4\sqrt{5}。$
综上所述，$AD$的长为$2\sqrt{5}$或$4\sqrt{5}。$
